Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1221
2016-10-20 
Две параллельные полуплоскости равномерно заряжены с плотностью заряда $+ \sigma$ на верхней и $- \sigma$ на нижней полуплоскости. Найдите величину и направление напряжённости электрического поля $E$ в точке $M$, которая находится на высоте $h$ над краем полуплоскостей (см. рисунок). Расстояние между полуплоскостями $d$ мало по сравнению с $h$.
Решение:
Представим сначала, что полуплоскости имеют конечный размер $b$ в направлении, перпендикулярном их краям. Изобразим вид рассматриваемой системы сбоку (см. рис.) и проведём через точку $M$ две плоскости $MM_{1}$ и $MM_{2}$, перпендикулярные плоскости чертежа, так, чтобы они составляли друг с другом малый угол и проходили через обе заряженные полуплоскости. Плоскости $MM_{1}$ и $MM_{2}$ вырежут в заряженных полуплоскостях две узкие полоски $A_{1}B_{1}$ и $A_{2}B_{2}$. Известно, что длинная узкая полоска создаёт на расстоянии $r$ от себя электрическое поле с напряжённостью $E = \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0} r}$, где заряд единицы длины полоски $\lambda = \sigma \Delta h$ ( $\Delta h = |AB|$ — ширина полоски). Поэтому верхняя полоска $A_{1}B_{1}$ создаёт в точке $M$ поле $\Delta E_{1} = \frac{ \sigma}{2 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{|A_{1}B_{1}|}{|A_{1}M|}$, причём вектор $\Delta \vec{E}_{1}$ направлен от $A_{1}B_{1}$. Аналогичным образом, нижняя полоска $A_{2}B_{2}$ создаёт в точке $M$ поле с напряжённостью $\Delta E_{2} = \frac{ \sigma}{ 2 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{|A_{2}B_{2}|}{|A_{2}M|}$, но вектор $\Delta \vec{E}_{2}$ направлен к $A_{2}B_{2}$. Из подобия треугольников $MA_{1}B_{1}$ и $MA_{2}B_{2}$ следует, что $\frac{|A_{1}B_{1}|}{|A_{1}M|} = \frac{|A_{2}B_{2}|}{|A_{2}M|}$. Поэтому поля этих полосок взаимно компенсируют друг друга.
Такие рассуждения справедливы для всех пар полосок, вырезанных плоскостями $MM_{1}$ и $MM_{2}$ из верхней и нижней полуплоскостей, за исключением самой дальней от точки $M$ полоски $KL$, принадлежащей верхней полуплоскости. Из чертежа видно, что для неё не найдётся парной полоски на нижней полуплоскости. Поэтому искомая напряжённость поля $E$ в точке $M$ будет равна напряжённости, создаваемой полоской $KL$ в этой точке : $E = \frac{ \sigma}{2 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{|KL|}{|LM|}$.
Так как
$|KL| = \frac{bd}{h+d} \approx \frac{bd}{h} \ll b; |LM| = \sqrt{h^{2} + (b - |KL|)^{2}} \approx \sqrt{h^{2} + b^{2}},$ то $E = \frac{ \sigma bd}{ 2 \pi \epsilon_{0} h \sqrt{h^{2} + b^{2}}}$.
Для того, чтобы выяснить, чему равна напряжённость поля в точке $M$ в случае бесконечных полуплоскостей, разложим вектор $\vec{E}$ на две компоненты $\vec{E}_{ \parallel }$ и $\vec{E}_{ \perp}$ — параллельную и перпендикулярную полуплоскостям, и сделаем предельный переход $b \rightarrow \infty$:
$E_{ \parallel} = E \cos \alpha \approx \frac{ \sigma b^{2}d}{2 \pi \epsilon_{0}h(h^{2}+b^{2})} \rightarrow \frac{ \sigma d}{2 \pi \epsilon_{0} h}$,
$E_{ \perp} = E \sin \alpha \approx \frac{ \sigma bd}{2 \pi \epsilon_{0}(h^{2}+b^{2})} \rightarrow 0$.
Следовательно, вектор напряжённости электростатического поля, создаваемого рассматриваемой системой в точке $M$, направлен параллельно полуплоскостям, а напряженность поля равна $E_{ \parallel} = \frac{ \sigma d}{2 \pi \epsilon_{0} h}$.
Две параллельные полуплоскости равномерно заряжены с плотностью заряда $+ \sigma$ на верхней и $- \sigma$ на нижней полуплоскости. Найдите величину и направление напряжённости электрического поля $E$ в точке $M$, которая находится на высоте $h$ над краем полуплоскостей (см. рисунок). Расстояние между полуплоскостями $d$ мало по сравнению с $h$.
Решение:
Представим сначала, что полуплоскости имеют конечный размер $b$ в направлении, перпендикулярном их краям. Изобразим вид рассматриваемой системы сбоку (см. рис.) и проведём через точку $M$ две плоскости $MM_{1}$ и $MM_{2}$, перпендикулярные плоскости чертежа, так, чтобы они составляли друг с другом малый угол и проходили через обе заряженные полуплоскости. Плоскости $MM_{1}$ и $MM_{2}$ вырежут в заряженных полуплоскостях две узкие полоски $A_{1}B_{1}$ и $A_{2}B_{2}$. Известно, что длинная узкая полоска создаёт на расстоянии $r$ от себя электрическое поле с напряжённостью $E = \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0} r}$, где заряд единицы длины полоски $\lambda = \sigma \Delta h$ ( $\Delta h = |AB|$ — ширина полоски). Поэтому верхняя полоска $A_{1}B_{1}$ создаёт в точке $M$ поле $\Delta E_{1} = \frac{ \sigma}{2 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{|A_{1}B_{1}|}{|A_{1}M|}$, причём вектор $\Delta \vec{E}_{1}$ направлен от $A_{1}B_{1}$. Аналогичным образом, нижняя полоска $A_{2}B_{2}$ создаёт в точке $M$ поле с напряжённостью $\Delta E_{2} = \frac{ \sigma}{ 2 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{|A_{2}B_{2}|}{|A_{2}M|}$, но вектор $\Delta \vec{E}_{2}$ направлен к $A_{2}B_{2}$. Из подобия треугольников $MA_{1}B_{1}$ и $MA_{2}B_{2}$ следует, что $\frac{|A_{1}B_{1}|}{|A_{1}M|} = \frac{|A_{2}B_{2}|}{|A_{2}M|}$. Поэтому поля этих полосок взаимно компенсируют друг друга.
Такие рассуждения справедливы для всех пар полосок, вырезанных плоскостями $MM_{1}$ и $MM_{2}$ из верхней и нижней полуплоскостей, за исключением самой дальней от точки $M$ полоски $KL$, принадлежащей верхней полуплоскости. Из чертежа видно, что для неё не найдётся парной полоски на нижней полуплоскости. Поэтому искомая напряжённость поля $E$ в точке $M$ будет равна напряжённости, создаваемой полоской $KL$ в этой точке : $E = \frac{ \sigma}{2 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{|KL|}{|LM|}$.
Так как
$|KL| = \frac{bd}{h+d} \approx \frac{bd}{h} \ll b; |LM| = \sqrt{h^{2} + (b - |KL|)^{2}} \approx \sqrt{h^{2} + b^{2}},$ то $E = \frac{ \sigma bd}{ 2 \pi \epsilon_{0} h \sqrt{h^{2} + b^{2}}}$.
Для того, чтобы выяснить, чему равна напряжённость поля в точке $M$ в случае бесконечных полуплоскостей, разложим вектор $\vec{E}$ на две компоненты $\vec{E}_{ \parallel }$ и $\vec{E}_{ \perp}$ — параллельную и перпендикулярную полуплоскостям, и сделаем предельный переход $b \rightarrow \infty$:
$E_{ \parallel} = E \cos \alpha \approx \frac{ \sigma b^{2}d}{2 \pi \epsilon_{0}h(h^{2}+b^{2})} \rightarrow \frac{ \sigma d}{2 \pi \epsilon_{0} h}$,
$E_{ \perp} = E \sin \alpha \approx \frac{ \sigma bd}{2 \pi \epsilon_{0}(h^{2}+b^{2})} \rightarrow 0$.
Следовательно, вектор напряжённости электростатического поля, создаваемого рассматриваемой системой в точке $M$, направлен параллельно полуплоскостям, а напряженность поля равна $E_{ \parallel} = \frac{ \sigma d}{2 \pi \epsilon_{0} h}$.
