Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12206
2019-12-25 
В небольшую тонкостенную металлическую кастрюлю налили 0,5 л воды, поставили кастрюлю на плиту и, измеряя температуру воды в различные моменты времени, построили график зависимости температуры от времени. Затем воду вылили, в кастрюлю налили 0,7 кг спирта и, поставив кастрюлю на ту же самую плиту, построили график зависимости температуры спирта от времени. Оба графика приведены на рисунке. Пользуясь этими графиками, определите удельную теплоемкость спирта и удельную теплоту его парообразования, если за 30 минут кипения количество спирта в кастрюле уменьшилось вдвое. Теплоемкость кастрюли $200 Дж/К$. Испарением с поверхности жидкости пренебречь.
Решение:
Обозначим $q$ количество теплоты, отдаваемое плитой за единицу времени. За малый промежуток времени $\Delta \tau$ количество теплоты, отдаваемое плитой, равно $Q = q \Delta \tau$. Это тепло расходуется на подогрев кастрюли, на подогрев жидкости и на теплоотдачу в окружающее пространство. При малом $\Delta \tau$ температура $\Theta$ кастрюли с жидкостью меняется незначительно, и поэтому можно считать, что теплоотдача $Q_{1}$ пропорциональна разности температур кастрюли ($\Theta$) и окружающей среды ($\Theta_{0}$) и времени $\Delta \tau$, то есть $Q_{1} = \alpha ( \Theta - \Theta_{0} ) \Delta \tau$, где $\alpha$ - коэффициент пропорциональности.
Запишем закон сохранения энергии для случая, когда на плите стоит кастрюля с водой:
$Q = q \Delta \tau = c{в}m_{в} \Delta \Theta + C \Delta \Theta + \alpha ( \Theta - \Theta_{0} ) \Delta \tau$. (1)
где $c_{в} = 4,2 \cdot 10^{3} Дж/(кг \cdot К)$ - удельная теплоемкость воды, $m_{в} = 0,5 кг$ - масса поды. $\Delta \Theta$ - изменение температуры воды и кастрюли за время $\Delta \tau$, $C$ - теплоемкость кастрюли, $\Theta$ - "начальная" температура воды и кастрюли.
В том случае, когда на плите стоит кастрюля со спиртом,
$Q = q \Delta \tau = c_{с}m_{с} \Delta \Theta^{ \prime} + C \Delta \Theta^{ \prime} + \alpha( \Theta - \Theta_{0} ) \Delta \tau$, (2)
где $c_{с}$ - удельная теплоемкость спирта, $m_{с}$ - масса спирта, $\Delta \Theta^{ \prime}$ - изменение температуры спирта и кастрюли за время $\Delta \tau$, $\Theta$ - "начальная" температура спирта и кастрюли.
Из (1) и (2) найдем отношении $\Delta t/ \Delta \tau$ и $\Delta t^{ \prime} / \Delta \tau$:
$\frac{ \Delta \Theta}{ \Delta \tau} = \frac{q - \alpha ( \Theta - \Theta_{0} ) }{c_{в}m_{в} + C }$ (3)
$\frac{ \Delta \Theta^{ \prime} }{ \Delta \tau} = \frac{q - \alpha ( \Theta - \Theta_{0} ) }{c_{с}m_{с} + C }$ (4)
Поделим (3) на (4):
$\frac{ \frac{ \Delta \Theta}{ \Delta \tau} }{ \frac{ \Delta \Theta^{ \prime} }{ \Delta \tau} } = \frac{c_{с}m_{с} + C }{c_{в}m_{в} + C }$.
Отсюда
$c_{с} = \frac{ \frac{ \Delta \Theta }{ \Delta \tau} }{ \frac{ \Delta \Theta^{ \prime} }{ \Delta \tau} } \frac{c_{в}m_{в} + C }{m_{с} } - \frac{C}{m_{в} }$.
Отношение $\Delta \Theta/ \Delta \tau$ при $\Delta \tau \rightarrow 0$ стремится к тангенсу угла наклона касательной к графику зависимости $t( \tau)$ для кастрюли с водой в точке с ординатой $\Theta$. Аналогично, $\Delta \Theta^{ \prime} / \Delta \tau$ при $\tau \rightarrow 0$ стремится к тангенсу угла наклона касательном к графику зависимости $t( \tau)$ для кастрюли со спиртом в точке с ординатой $\Theta$.
Таким образом.
$c_{с} = \frac{ tg \phi_{1} }{ tg \phi_{2} } \frac{c_{в}m_{в} + C }{m_{с} } - \frac{C}{m_{в} }$. (5)
Для большей точности касательные к графику будем проводить при низких $\Theta$ (см. рис.; на этом участке графики $t( \tau)$ практически прямые линии). Определив значения $tg \phi_{1}$ и $tg \phi_{2}$ и подставив в (5) численные значения величин, найдем
$c_{с} \approx 2,4 \cdot 10^{3} Дж/(кг \cdot К)$.
Теперь найдем удельную теплоту парообразования спирта. При кипении температура спирта нс меняется. Тепло, выделяемое плитой за время $T$, расходуется на испарение спирта и на теплоотдачу. Согласно закону сохранения энергии,
$qT = \Delta m \lambda + \alpha ( \Theta_{к} - \Theta_{0} )T$. (б)
где $\Delta m = 0,35 кг$ - масса спирта, испарившегося за время $T = 30 мин$, $\lambda$ - удельная теплота парообразования спирта. $\Theta_{к} =78^{ \circ} С$ - температура кипения спирта. Из (б) находим выражение для $\lambda$:
$\lambda = \frac{q - \alpha ( \Theta_{к} - \Theta_{0} ) }{ \Delta m / T}$. (7)
Теплоотдачу $\alpha (\Theta_{к} - t_{0} )$ за единицу времени при температуре $\Theta_{к}$ мы можем найти из выражения (1), подставив в него $\Theta = \Theta_{к}$ и учтя, что $\Delta \Theta / \Delta \tau$ при $\tau \rightarrow 0$ стремится к тангенсу угла наклона касательной к графику $t( \tau)$ (для кастрюли с водой), проведенной в точке с ординатой $\Theta_{к} = 78^{ \circ} С$. Таким образом, из (1) находим
$\alpha ( \Theta_{к} - \Theta_{0} ) = q - (c_{в}m_{в} + C ) tg \phi^{ \prime}$
(множитель $tg \phi^{ \prime}$ имеет размерность $К/мин$).
Подставив это выражение в (7), получим окончательное выражение для удельной теплоты парообразования спирта:
$\lambda = \frac{c_{в}m_{в} + C }{ \Delta m /T} tg \phi^{ \prime}$.
Определив по графику (рис.) $\phi^{ \prime}$ и подставив численные значения величин, найдем $\lambda$.
В небольшую тонкостенную металлическую кастрюлю налили 0,5 л воды, поставили кастрюлю на плиту и, измеряя температуру воды в различные моменты времени, построили график зависимости температуры от времени. Затем воду вылили, в кастрюлю налили 0,7 кг спирта и, поставив кастрюлю на ту же самую плиту, построили график зависимости температуры спирта от времени. Оба графика приведены на рисунке. Пользуясь этими графиками, определите удельную теплоемкость спирта и удельную теплоту его парообразования, если за 30 минут кипения количество спирта в кастрюле уменьшилось вдвое. Теплоемкость кастрюли $200 Дж/К$. Испарением с поверхности жидкости пренебречь.
Решение:
Обозначим $q$ количество теплоты, отдаваемое плитой за единицу времени. За малый промежуток времени $\Delta \tau$ количество теплоты, отдаваемое плитой, равно $Q = q \Delta \tau$. Это тепло расходуется на подогрев кастрюли, на подогрев жидкости и на теплоотдачу в окружающее пространство. При малом $\Delta \tau$ температура $\Theta$ кастрюли с жидкостью меняется незначительно, и поэтому можно считать, что теплоотдача $Q_{1}$ пропорциональна разности температур кастрюли ($\Theta$) и окружающей среды ($\Theta_{0}$) и времени $\Delta \tau$, то есть $Q_{1} = \alpha ( \Theta - \Theta_{0} ) \Delta \tau$, где $\alpha$ - коэффициент пропорциональности.
Запишем закон сохранения энергии для случая, когда на плите стоит кастрюля с водой:
$Q = q \Delta \tau = c{в}m_{в} \Delta \Theta + C \Delta \Theta + \alpha ( \Theta - \Theta_{0} ) \Delta \tau$. (1)
где $c_{в} = 4,2 \cdot 10^{3} Дж/(кг \cdot К)$ - удельная теплоемкость воды, $m_{в} = 0,5 кг$ - масса поды. $\Delta \Theta$ - изменение температуры воды и кастрюли за время $\Delta \tau$, $C$ - теплоемкость кастрюли, $\Theta$ - "начальная" температура воды и кастрюли.
В том случае, когда на плите стоит кастрюля со спиртом,
$Q = q \Delta \tau = c_{с}m_{с} \Delta \Theta^{ \prime} + C \Delta \Theta^{ \prime} + \alpha( \Theta - \Theta_{0} ) \Delta \tau$, (2)
где $c_{с}$ - удельная теплоемкость спирта, $m_{с}$ - масса спирта, $\Delta \Theta^{ \prime}$ - изменение температуры спирта и кастрюли за время $\Delta \tau$, $\Theta$ - "начальная" температура спирта и кастрюли.
Из (1) и (2) найдем отношении $\Delta t/ \Delta \tau$ и $\Delta t^{ \prime} / \Delta \tau$:
$\frac{ \Delta \Theta}{ \Delta \tau} = \frac{q - \alpha ( \Theta - \Theta_{0} ) }{c_{в}m_{в} + C }$ (3)
$\frac{ \Delta \Theta^{ \prime} }{ \Delta \tau} = \frac{q - \alpha ( \Theta - \Theta_{0} ) }{c_{с}m_{с} + C }$ (4)
Поделим (3) на (4):
$\frac{ \frac{ \Delta \Theta}{ \Delta \tau} }{ \frac{ \Delta \Theta^{ \prime} }{ \Delta \tau} } = \frac{c_{с}m_{с} + C }{c_{в}m_{в} + C }$.
Отсюда
$c_{с} = \frac{ \frac{ \Delta \Theta }{ \Delta \tau} }{ \frac{ \Delta \Theta^{ \prime} }{ \Delta \tau} } \frac{c_{в}m_{в} + C }{m_{с} } - \frac{C}{m_{в} }$.
Отношение $\Delta \Theta/ \Delta \tau$ при $\Delta \tau \rightarrow 0$ стремится к тангенсу угла наклона касательной к графику зависимости $t( \tau)$ для кастрюли с водой в точке с ординатой $\Theta$. Аналогично, $\Delta \Theta^{ \prime} / \Delta \tau$ при $\tau \rightarrow 0$ стремится к тангенсу угла наклона касательном к графику зависимости $t( \tau)$ для кастрюли со спиртом в точке с ординатой $\Theta$.
Таким образом.
$c_{с} = \frac{ tg \phi_{1} }{ tg \phi_{2} } \frac{c_{в}m_{в} + C }{m_{с} } - \frac{C}{m_{в} }$. (5)
Для большей точности касательные к графику будем проводить при низких $\Theta$ (см. рис.; на этом участке графики $t( \tau)$ практически прямые линии). Определив значения $tg \phi_{1}$ и $tg \phi_{2}$ и подставив в (5) численные значения величин, найдем
$c_{с} \approx 2,4 \cdot 10^{3} Дж/(кг \cdot К)$.
Теперь найдем удельную теплоту парообразования спирта. При кипении температура спирта нс меняется. Тепло, выделяемое плитой за время $T$, расходуется на испарение спирта и на теплоотдачу. Согласно закону сохранения энергии,
$qT = \Delta m \lambda + \alpha ( \Theta_{к} - \Theta_{0} )T$. (б)
где $\Delta m = 0,35 кг$ - масса спирта, испарившегося за время $T = 30 мин$, $\lambda$ - удельная теплота парообразования спирта. $\Theta_{к} =78^{ \circ} С$ - температура кипения спирта. Из (б) находим выражение для $\lambda$:
$\lambda = \frac{q - \alpha ( \Theta_{к} - \Theta_{0} ) }{ \Delta m / T}$. (7)
Теплоотдачу $\alpha (\Theta_{к} - t_{0} )$ за единицу времени при температуре $\Theta_{к}$ мы можем найти из выражения (1), подставив в него $\Theta = \Theta_{к}$ и учтя, что $\Delta \Theta / \Delta \tau$ при $\tau \rightarrow 0$ стремится к тангенсу угла наклона касательной к графику $t( \tau)$ (для кастрюли с водой), проведенной в точке с ординатой $\Theta_{к} = 78^{ \circ} С$. Таким образом, из (1) находим
$\alpha ( \Theta_{к} - \Theta_{0} ) = q - (c_{в}m_{в} + C ) tg \phi^{ \prime}$
(множитель $tg \phi^{ \prime}$ имеет размерность $К/мин$).
Подставив это выражение в (7), получим окончательное выражение для удельной теплоты парообразования спирта:
$\lambda = \frac{c_{в}m_{в} + C }{ \Delta m /T} tg \phi^{ \prime}$.
Определив по графику (рис.) $\phi^{ \prime}$ и подставив численные значения величин, найдем $\lambda$.
