Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1220
2016-10-20 
Предположим, что закон взаимодействия двух зарядов несколько отличается от кулоновского и имеет вид $F = k \frac{q_{1}q_{2}}{r^{2- \alpha}}$, где $| \alpha| \ll 1$, а $k > 0$ — размерный коэффициент. Рассмотрим сферу радиусом $R$, по поверхности которой равномерно распределён заряд $Q$. Найдите период малых колебаний частицы массой $m$ с зарядом $q$ вблизи центра этой сферы. Указание: при $|x| \ll 1$ справедлива приближённая формула $(1 + x)^{n} \approx 1 + nx$, где $n$ — любое, не обязательно целое число.
Решение:
Пусть частица сместилась на малое расстояние $r \ll R$ в направлении оси X, начало которой находится в центре сферы (см. рис. ). Найдём силу $\Delta F$, действующую на эту частицу со стороны тонкого кольца, вырезанного из сферы параллельными плоскостями $x = h$ и $x = h + \Delta h$. Площадь поверхности этого кольца равна
$\Delta S = 2 \pi R s\in \alpha \cdot \frac{ \Delta h}{ \sin \alpha} = 2 \pi R \Delta h$,
его заряд
$\Delta Q = Q \cdot \frac{ \Delta S}{4 \pi R^{2}} = \frac{Q \Delta h}{2R}$.
Из приведённого в условии задачи закона взаимодействия зарядов и принципа суперпозиции находим, что сила $\Delta F$ направлена параллельно оси х и равна
$\Delta F = - \frac{kq \Delta Q (h-r)}{(R^{2}-h^{2} + (h-r)^{2})^{ \frac{3 - \alpha}{2}}} = - \frac{kqQ \Delta h}{2R}(h-r) (R^{2} - 2hr + r^{2})^{ \frac{ \alpha - 3}{2}}$.
При малых $r$, используя приближённую формулу $(1 + x)^{n} \approx 1 + nx$ при $n = ( \alpha — 3)/2$ и пренебрегая слагаемыми $\sim r^{2}$, получаем:
$\Delta F \approx - \frac{kqQ \Delta h}{2R^{4 - \alpha}} (h-r) \left ( 1 - \frac{2hr}{R^{2}} \right )^{ \frac{ \alpha - 3}{2}} \approx - \frac{kqQ \Delta h}{2R^{4 - \alpha}} (h-r) \left ( 1 - \frac{( \alpha - 3)hr}{R^{2}} \right ) \approx - \frac{kqQ }{2R^{4 - \alpha}} \left ( h - r - \frac{( \alpha - 3)h^{2}r}{R^{2}} \right ) \Delta h$.
Так как величина $h$ изменяется в пределах от $— R$ до $R$, то
$\sum \Delta h = 2R, \sum h \Delta h = 0, \sum h^{2} \Delta h = \frac{2}{3} R^{3}$.
Поэтому полная сила, действующая на заряд, равна
$F = \sum \Delta F = - \frac{kqQ}{2R^{4 - \alpha}} \left ( -2rR - \frac{( \alpha - 3)r}{R^{2}} \cdot \frac{2}{3} R^{3} \right ) = \frac{k \alpha qQ}{3R^{3- \alpha}}$.
Таким образом, при $r \ll R$ сила $F \sim r$. При $\alpha qQ < 0$ эта сила является возвращающей, то есть частица будет вести себя, как груз на пружине с жесткостью $k_{1} = \frac{k| \alpha qQ|}{3R^{3 - \alpha}}$, и будет совершать вблизи центра сферы малые колебания с периодом $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k_{1}}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{3mR^{3 - \alpha}}{k| \alpha qQ|}}$.
При $\alpha qQ > 0$ сила $F$, возникающая при смещении частицы, будет стремиться ещё больше удалить её от центра сферы. Поэтому при таком условии состояние равновесия заряженной частицы в центре сферы будет неустойчивым. Наконец, при $\alpha = 0$, что соответствует закону Кулона, сила $F$ внутри равномерно заряженной по поверхности сферы обратится в ноль. При этом частица в любом месте внутри сферы будет находиться в состоянии равновесия.
Предположим, что закон взаимодействия двух зарядов несколько отличается от кулоновского и имеет вид $F = k \frac{q_{1}q_{2}}{r^{2- \alpha}}$, где $| \alpha| \ll 1$, а $k > 0$ — размерный коэффициент. Рассмотрим сферу радиусом $R$, по поверхности которой равномерно распределён заряд $Q$. Найдите период малых колебаний частицы массой $m$ с зарядом $q$ вблизи центра этой сферы. Указание: при $|x| \ll 1$ справедлива приближённая формула $(1 + x)^{n} \approx 1 + nx$, где $n$ — любое, не обязательно целое число.
Решение:
Пусть частица сместилась на малое расстояние $r \ll R$ в направлении оси X, начало которой находится в центре сферы (см. рис. ). Найдём силу $\Delta F$, действующую на эту частицу со стороны тонкого кольца, вырезанного из сферы параллельными плоскостями $x = h$ и $x = h + \Delta h$. Площадь поверхности этого кольца равна
$\Delta S = 2 \pi R s\in \alpha \cdot \frac{ \Delta h}{ \sin \alpha} = 2 \pi R \Delta h$,
его заряд
$\Delta Q = Q \cdot \frac{ \Delta S}{4 \pi R^{2}} = \frac{Q \Delta h}{2R}$.
Из приведённого в условии задачи закона взаимодействия зарядов и принципа суперпозиции находим, что сила $\Delta F$ направлена параллельно оси х и равна
$\Delta F = - \frac{kq \Delta Q (h-r)}{(R^{2}-h^{2} + (h-r)^{2})^{ \frac{3 - \alpha}{2}}} = - \frac{kqQ \Delta h}{2R}(h-r) (R^{2} - 2hr + r^{2})^{ \frac{ \alpha - 3}{2}}$.
При малых $r$, используя приближённую формулу $(1 + x)^{n} \approx 1 + nx$ при $n = ( \alpha — 3)/2$ и пренебрегая слагаемыми $\sim r^{2}$, получаем:
$\Delta F \approx - \frac{kqQ \Delta h}{2R^{4 - \alpha}} (h-r) \left ( 1 - \frac{2hr}{R^{2}} \right )^{ \frac{ \alpha - 3}{2}} \approx - \frac{kqQ \Delta h}{2R^{4 - \alpha}} (h-r) \left ( 1 - \frac{( \alpha - 3)hr}{R^{2}} \right ) \approx - \frac{kqQ }{2R^{4 - \alpha}} \left ( h - r - \frac{( \alpha - 3)h^{2}r}{R^{2}} \right ) \Delta h$.
Так как величина $h$ изменяется в пределах от $— R$ до $R$, то
$\sum \Delta h = 2R, \sum h \Delta h = 0, \sum h^{2} \Delta h = \frac{2}{3} R^{3}$.
Поэтому полная сила, действующая на заряд, равна
$F = \sum \Delta F = - \frac{kqQ}{2R^{4 - \alpha}} \left ( -2rR - \frac{( \alpha - 3)r}{R^{2}} \cdot \frac{2}{3} R^{3} \right ) = \frac{k \alpha qQ}{3R^{3- \alpha}}$.
Таким образом, при $r \ll R$ сила $F \sim r$. При $\alpha qQ < 0$ эта сила является возвращающей, то есть частица будет вести себя, как груз на пружине с жесткостью $k_{1} = \frac{k| \alpha qQ|}{3R^{3 - \alpha}}$, и будет совершать вблизи центра сферы малые колебания с периодом $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k_{1}}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{3mR^{3 - \alpha}}{k| \alpha qQ|}}$.
При $\alpha qQ > 0$ сила $F$, возникающая при смещении частицы, будет стремиться ещё больше удалить её от центра сферы. Поэтому при таком условии состояние равновесия заряженной частицы в центре сферы будет неустойчивым. Наконец, при $\alpha = 0$, что соответствует закону Кулона, сила $F$ внутри равномерно заряженной по поверхности сферы обратится в ноль. При этом частица в любом месте внутри сферы будет находиться в состоянии равновесия.
