Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12194
2019-12-25 
Из-за наличия объемного заряда в межэлектродном пространстве плоского диода распределение потенциала $\phi(x)$ между катодом и анодом имеет вид $\phi(x) = x^{2} - 2x$ ($x$ - в миллиметрах, $\phi$ - в вольтах). Расстояние между катодом и анодом $d = 10 мм$. Координата $x$ совпадает с расстоянием до катода. Определить, при какой минимальной кинетической энергии электрон с поверхности катода сможет достичь анода. Каким будет максимальное ускорение электронов, которые достигнут анода?
Решение:
Нарисуем график зависимости $\phi(x)$. Из графика видно, что вначале потенциал уменьшается и отрицателен, затем начинает возрастать. Он минимален при $x = 1 мм, \phi_{min} = 1 В$. Это означает, что вначале (при малых $x$), пока потенциал убывает, электрическое поле при перемещении электрона совершает отрицательную работу, препятствуя перемещению электрона. При $x > 1 мм$, когда потенциал начинает возрастать, поле совершает положительную работу, разгоняя электрон. Следовательно, для того чтобы электрон попал на анод, он должен достичь точки с координатой $x = 1 мм$. Из закона сохранения энергии следует что для этого он должен иметь энергию не меньше чем
$W_{min} = e \phi_{min} = 1 эВ$.
Ускорение электрона определяется действующей на электрон силой, то есть напряженностью поля. Поэтому ускорение электрона максимально в той точке в которой максимальна напряженность электростатического поля Так как $\Delta \phi = E \Delta x$,
$E = \frac{ \Delta \phi }{ \Delta x} = \frac{(x + \Delta x)^{2} - 2 (x + \Delta x) - (x^{2} - 2x ) }{ \Delta x} = \frac{2x \Delta x + ( \Delta x)^{2} - 2 \Delta x }{ \Delta x}$.
При малых $\Delta x$ можно пренебречь $\Delta x^{2}$, так что
$E(x) = 2x - 2$ ($x$ - в мм, $E$ - в В/мм).
Направлено поле от катода к аноду при $x < 1 мм$ и от анода к катоду при $x > 1 мм$. Так как заряд электрона отрицателен, сила, действующая на электрон, направлена противоположно полю.
Итак, напряженность электростатического поля пропорциональна координате. Она максимальна при $x = d$ и равна при этом $E_{max} = 18 В/мм$. Следовательно, при $x = d$ ускорение электрона максимально и равно
$a = \frac{F}{m} = \frac{eE}{m} \approx 3,2 \cdot 10^{15} м/с^{2}$.
Из-за наличия объемного заряда в межэлектродном пространстве плоского диода распределение потенциала $\phi(x)$ между катодом и анодом имеет вид $\phi(x) = x^{2} - 2x$ ($x$ - в миллиметрах, $\phi$ - в вольтах). Расстояние между катодом и анодом $d = 10 мм$. Координата $x$ совпадает с расстоянием до катода. Определить, при какой минимальной кинетической энергии электрон с поверхности катода сможет достичь анода. Каким будет максимальное ускорение электронов, которые достигнут анода?
Решение:
Нарисуем график зависимости $\phi(x)$. Из графика видно, что вначале потенциал уменьшается и отрицателен, затем начинает возрастать. Он минимален при $x = 1 мм, \phi_{min} = 1 В$. Это означает, что вначале (при малых $x$), пока потенциал убывает, электрическое поле при перемещении электрона совершает отрицательную работу, препятствуя перемещению электрона. При $x > 1 мм$, когда потенциал начинает возрастать, поле совершает положительную работу, разгоняя электрон. Следовательно, для того чтобы электрон попал на анод, он должен достичь точки с координатой $x = 1 мм$. Из закона сохранения энергии следует что для этого он должен иметь энергию не меньше чем
$W_{min} = e \phi_{min} = 1 эВ$.
Ускорение электрона определяется действующей на электрон силой, то есть напряженностью поля. Поэтому ускорение электрона максимально в той точке в которой максимальна напряженность электростатического поля Так как $\Delta \phi = E \Delta x$,
$E = \frac{ \Delta \phi }{ \Delta x} = \frac{(x + \Delta x)^{2} - 2 (x + \Delta x) - (x^{2} - 2x ) }{ \Delta x} = \frac{2x \Delta x + ( \Delta x)^{2} - 2 \Delta x }{ \Delta x}$.
При малых $\Delta x$ можно пренебречь $\Delta x^{2}$, так что
$E(x) = 2x - 2$ ($x$ - в мм, $E$ - в В/мм).
Направлено поле от катода к аноду при $x < 1 мм$ и от анода к катоду при $x > 1 мм$. Так как заряд электрона отрицателен, сила, действующая на электрон, направлена противоположно полю.
Итак, напряженность электростатического поля пропорциональна координате. Она максимальна при $x = d$ и равна при этом $E_{max} = 18 В/мм$. Следовательно, при $x = d$ ускорение электрона максимально и равно
$a = \frac{F}{m} = \frac{eE}{m} \approx 3,2 \cdot 10^{15} м/с^{2}$.
