Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12192
2019-12-25 
При бомбардировке литиевой мишени протонами с энергией не меньше 1,88 МэВ может происходить ядерная реакция
$^{7}Li + p \rightarrow ^{7}Be + n$.
При какой энергии протонов, образующиеся в реакции нейтроны могут лететь назад от литиевой мишени?
Решение:
Согласно законам сохранения энергии и импульса
$E_{p} = E_{Be} + E_{n} + Q$, (1)
$\vec{p}_{p} = \vec{p}_{He} + \vec{p}_{n}$. (2)
где $E_{p}, E_{Be}, E_{n}$ - соответственно энергии протона, ядра бериллия и нейтрона, $\vec{p}_{p}, \vec{p}_{Be}, \vec{p}_{n}$ -импульсы этих частиц. При энергии протона $E_{p} = E_{0} = 1,88 МэВ$ суммарная энергия $E$ ядра бериллия и нейтрона минимальна. Найдем ее.
Для этого рассмотрим процесс в системе отсчета, движущейся со скоростью центра масс системы протон - ядро лития. В этой системе протон и ядро лития движутся навстречу друг другу. При минимально возможной энергии в взаимодействующих частиц (протона и ядра лития) энергия образовавшихся в процессе реакции ядра бериллия и нейтрона равна нулю - эти частицы покоятся.
Теперь перейдем к системе отсчета, в которой литиевая мишень неподвижна. В этой системе ядро бериллия и нейтрон, образовавшиеся в результате бомбардировки мишени протоном с энергией $E_{p} = E_{0}$, движется как одно целое со скоростью, равной скорости центра масс системы протон - ядро лития. Их суммарная энергии $E$, согласно закону сохранения энергии, определяется равенством
$E_{0} = E + Q$, ($1^{ \prime}$)
а их суммарный импульс $\vec{p}$, согласно закону сохранения импульса, равен
$\vec{p} = \vec{p}_{0}$ ($2^{ \prime}$)
($\vec{p}_{0}$ - импульс протона с энергией $E_{0}$). Учитывая, что импульс частицы и ее энергия связаны соотношением $p = | \vec{p} | = \sqrt{2mE}$ ($E = \frac{mv^{2} }{2} = \frac{(mv)^{2} }{2m} = \frac{p^{2} }{2m} $), равенство ($2^{ \prime}$) мы можем переписать так:
$\sqrt{2mE_{0} } = \sqrt{2(m + m)E}$
(здесь $m$ - обозначены масса протона и масса нейтрона, $M$ - масса ядра литии и масса ядра бериллия). Отсюда находим $E = \frac{m}{M + m}E_{0}$. Подставим это значение в ($1^{ \prime}$), находим значение $Q$:
$Q = \frac{M}{m + M}E_{0}$
Таким образом, при энергии протона $E_{p} > E_{0}$ закон сохранения энергии (1) мы можем записать так:
$E_{p} = E_{Be} + E_{n} + \frac{M}{m + M}E_{0}$ (3)
Если образовавшийся в результате реакции нейтрон летит назад от литиевой мишени, то закон сохранения импульса (2) можно записать так
$p_{p} = p_{Be} - p_{n}$ ($p = | \vec{p}|$).
или
$\sqrt{2mE_{p}} = \sqrt{2ME_{Be}} - \sqrt{2m E_{n}}$. (4)
Из равенства (4) найдем
$E_{Be} = \frac{m}{M} (E_{p} + E_{n} + 2 \sqrt{E_{p}E_{n} } )$
и подставим это значение в (3). В результате получим
$E_{p} = E_{n} + \frac{m}{M} (E_{p} + E_{n} + 2 \sqrt{E_{p}E_{n} } ) + \frac{M}{m + M}E_{0}$,
Из последнего равенства видно, что $E_{p}$ минимально при $E_{n} = 0$. При этом
$E_{p} = \frac{M^{2} }{M^{2} - m^{2} } E_{0} \approx 1,92 МэВ$
Таким образом, при $E_{p} \approx 1,92 МэВ$ образующийся в реакции нейтрон покоится. При $E_{p} > 1,92 МэВ$ нейтрон может лететь назад от литиевой мишени.
При бомбардировке литиевой мишени протонами с энергией не меньше 1,88 МэВ может происходить ядерная реакция
$^{7}Li + p \rightarrow ^{7}Be + n$.
При какой энергии протонов, образующиеся в реакции нейтроны могут лететь назад от литиевой мишени?
Решение:
Согласно законам сохранения энергии и импульса
$E_{p} = E_{Be} + E_{n} + Q$, (1)
$\vec{p}_{p} = \vec{p}_{He} + \vec{p}_{n}$. (2)
где $E_{p}, E_{Be}, E_{n}$ - соответственно энергии протона, ядра бериллия и нейтрона, $\vec{p}_{p}, \vec{p}_{Be}, \vec{p}_{n}$ -импульсы этих частиц. При энергии протона $E_{p} = E_{0} = 1,88 МэВ$ суммарная энергия $E$ ядра бериллия и нейтрона минимальна. Найдем ее.
Для этого рассмотрим процесс в системе отсчета, движущейся со скоростью центра масс системы протон - ядро лития. В этой системе протон и ядро лития движутся навстречу друг другу. При минимально возможной энергии в взаимодействующих частиц (протона и ядра лития) энергия образовавшихся в процессе реакции ядра бериллия и нейтрона равна нулю - эти частицы покоятся.
Теперь перейдем к системе отсчета, в которой литиевая мишень неподвижна. В этой системе ядро бериллия и нейтрон, образовавшиеся в результате бомбардировки мишени протоном с энергией $E_{p} = E_{0}$, движется как одно целое со скоростью, равной скорости центра масс системы протон - ядро лития. Их суммарная энергии $E$, согласно закону сохранения энергии, определяется равенством
$E_{0} = E + Q$, ($1^{ \prime}$)
а их суммарный импульс $\vec{p}$, согласно закону сохранения импульса, равен
$\vec{p} = \vec{p}_{0}$ ($2^{ \prime}$)
($\vec{p}_{0}$ - импульс протона с энергией $E_{0}$). Учитывая, что импульс частицы и ее энергия связаны соотношением $p = | \vec{p} | = \sqrt{2mE}$ ($E = \frac{mv^{2} }{2} = \frac{(mv)^{2} }{2m} = \frac{p^{2} }{2m} $), равенство ($2^{ \prime}$) мы можем переписать так:
$\sqrt{2mE_{0} } = \sqrt{2(m + m)E}$
(здесь $m$ - обозначены масса протона и масса нейтрона, $M$ - масса ядра литии и масса ядра бериллия). Отсюда находим $E = \frac{m}{M + m}E_{0}$. Подставим это значение в ($1^{ \prime}$), находим значение $Q$:
$Q = \frac{M}{m + M}E_{0}$
Таким образом, при энергии протона $E_{p} > E_{0}$ закон сохранения энергии (1) мы можем записать так:
$E_{p} = E_{Be} + E_{n} + \frac{M}{m + M}E_{0}$ (3)
Если образовавшийся в результате реакции нейтрон летит назад от литиевой мишени, то закон сохранения импульса (2) можно записать так
$p_{p} = p_{Be} - p_{n}$ ($p = | \vec{p}|$).
или
$\sqrt{2mE_{p}} = \sqrt{2ME_{Be}} - \sqrt{2m E_{n}}$. (4)
Из равенства (4) найдем
$E_{Be} = \frac{m}{M} (E_{p} + E_{n} + 2 \sqrt{E_{p}E_{n} } )$
и подставим это значение в (3). В результате получим
$E_{p} = E_{n} + \frac{m}{M} (E_{p} + E_{n} + 2 \sqrt{E_{p}E_{n} } ) + \frac{M}{m + M}E_{0}$,
Из последнего равенства видно, что $E_{p}$ минимально при $E_{n} = 0$. При этом
$E_{p} = \frac{M^{2} }{M^{2} - m^{2} } E_{0} \approx 1,92 МэВ$
Таким образом, при $E_{p} \approx 1,92 МэВ$ образующийся в реакции нейтрон покоится. При $E_{p} > 1,92 МэВ$ нейтрон может лететь назад от литиевой мишени.
