Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12190
2019-12-25 
Атом, движущийся со скоростью $v$ ($v \ll c$), испускает фотон под малым углом $\alpha$ к направлению своего движения. Доказать, что если $\omega_{0}$ - частота излучения покоящегося атома, a $\omega$ - частота волны фотона, то для видимого света $\frac{ \omega_{0} - \omega }{ \omega } \approx \frac{v}{c} \cos \alpha$.
Решение:
В результате излучения фотона меняются импульс атома, его кинетическая энергия и внутренняя энергии.
Согласно закону сохранения импульса $m \vec{v} = m \vec{v}_{1} + \vec{p}_{ф}$ ($m \vec{v}_{1}$ - импульс атома после излучения, $| \vec{p}_{ф} | = \frac{h \omega}{c}$ - импульс излученного фогома), то есть
$(mv_{1})^{2} = (mv)^{2} + \left ( \frac{ \hbar \omega }{c} \right )^{2} - 2mv \frac{ \hbar \omega }{c} \cos \alpha$. (1)
Согласно закону сохранения энергия
$\frac{mv^{2} }{2} = \frac{mv_{1}^{2} }{2} + \hbar \omega + \Delta E$ (2)
($\hbar \omega$ - энергия излученного фотона, $\Delta E$ - изменение внутренней энергии атома).
Изменение $\Delta E$ внутренней энергия атома - это изменение энергии первоначально неподвижного атома после излучения фотона с энергией $\hbar \omega_{0}$. После излучения атом, согласно закону сохранения импульса, приобретает импульс $m \vec{u}$ такой, что $m \vec{u} + \left ( \frac{ \hbar \omega_{0} }{c} \right ) = \vec{0}$ и $mu = \frac{ \hbar \omega_{0} }{c}$. Так что изменение внутренней энергии атома, согласно закону сохранения энергии, равно
$\Delta E = - \left [ \hbar \omega_{0} + \frac{( \hbar \omega_{0} )^{2} }{2mc^{2} } \right ] = - \hbar \omega_{0} \left ( 1 + \frac{ \hbar \omega_{0} }{2mc^{2} } \right )$
($\Delta E<0$, так как внутренняя энергия атома уменьшилась).
Подставляя значение $\Delta E$ в (2) и исключая из (1) и (2) $v_{1}$, получаем:
$\omega \left ( 1 + \frac{ \hbar \omega }{2mc^{2} } - \frac{v}{c} \cos \alpha \right ) = \omega_{0} \left ( 1 + \frac{ \hbar \omega_{0} }{2mc^{2} } \right )$. (3)
При сравнительно малых значениях частот $\omega$ и $\omega_{0}$ (порядка оптических) величины $\frac{ \hbar \omega }{2mc^{2} }$ и $\frac{ \hbar \omega_{0} }{2mc^{2} }$ много меньше единицы. Пренебрегая этими величинами, из (3) находим, что при чалых углах $\alpha$ (когда $\cos \alpha \approx 1$)
$\frac{ \omega - \omega_{0} }{ \omega} \approx \frac{v}{c}$.
Атом, движущийся со скоростью $v$ ($v \ll c$), испускает фотон под малым углом $\alpha$ к направлению своего движения. Доказать, что если $\omega_{0}$ - частота излучения покоящегося атома, a $\omega$ - частота волны фотона, то для видимого света $\frac{ \omega_{0} - \omega }{ \omega } \approx \frac{v}{c} \cos \alpha$.
Решение:
В результате излучения фотона меняются импульс атома, его кинетическая энергия и внутренняя энергии.
Согласно закону сохранения импульса $m \vec{v} = m \vec{v}_{1} + \vec{p}_{ф}$ ($m \vec{v}_{1}$ - импульс атома после излучения, $| \vec{p}_{ф} | = \frac{h \omega}{c}$ - импульс излученного фогома), то есть
$(mv_{1})^{2} = (mv)^{2} + \left ( \frac{ \hbar \omega }{c} \right )^{2} - 2mv \frac{ \hbar \omega }{c} \cos \alpha$. (1)
Согласно закону сохранения энергия
$\frac{mv^{2} }{2} = \frac{mv_{1}^{2} }{2} + \hbar \omega + \Delta E$ (2)
($\hbar \omega$ - энергия излученного фотона, $\Delta E$ - изменение внутренней энергии атома).
Изменение $\Delta E$ внутренней энергия атома - это изменение энергии первоначально неподвижного атома после излучения фотона с энергией $\hbar \omega_{0}$. После излучения атом, согласно закону сохранения импульса, приобретает импульс $m \vec{u}$ такой, что $m \vec{u} + \left ( \frac{ \hbar \omega_{0} }{c} \right ) = \vec{0}$ и $mu = \frac{ \hbar \omega_{0} }{c}$. Так что изменение внутренней энергии атома, согласно закону сохранения энергии, равно
$\Delta E = - \left [ \hbar \omega_{0} + \frac{( \hbar \omega_{0} )^{2} }{2mc^{2} } \right ] = - \hbar \omega_{0} \left ( 1 + \frac{ \hbar \omega_{0} }{2mc^{2} } \right )$
($\Delta E<0$, так как внутренняя энергия атома уменьшилась).
Подставляя значение $\Delta E$ в (2) и исключая из (1) и (2) $v_{1}$, получаем:
$\omega \left ( 1 + \frac{ \hbar \omega }{2mc^{2} } - \frac{v}{c} \cos \alpha \right ) = \omega_{0} \left ( 1 + \frac{ \hbar \omega_{0} }{2mc^{2} } \right )$. (3)
При сравнительно малых значениях частот $\omega$ и $\omega_{0}$ (порядка оптических) величины $\frac{ \hbar \omega }{2mc^{2} }$ и $\frac{ \hbar \omega_{0} }{2mc^{2} }$ много меньше единицы. Пренебрегая этими величинами, из (3) находим, что при чалых углах $\alpha$ (когда $\cos \alpha \approx 1$)
$\frac{ \omega - \omega_{0} }{ \omega} \approx \frac{v}{c}$.
