Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1219
2016-10-20 
На гладкую непроводящую нить длиной $l$ надеты три бусинки с положительными зарядами $q_{1}, q_{2}$ и $q_{3}$. Концы нити соединены. Найдите силу натяжения нити $T$, когда система находится в равновесии.
Решение:
рис.1
рис.2
Рассмотрим случай, когда заряды располагаются в вершинах треугольника (см. рис. 1). Для этого рассмотрим какой-либо заряд, например, $q_{1}$. Сумма сил, действующих на этот заряд, равна нулю (заряд неподвижен). Со стороны нити на этот заряд действуют две одинаковые по модулю силы натяжения $T$, направленные вдоль сторон треугольника $q_{1}q_{2}q_{3}$. Следовательно, равнодействующая этих сил направлена по биссектрисе угла $q_{1}q_{2}q_{3}$. Тогда равнодействующая сил электростатического взаимодействия заряда $q_{1}$ с зарядами $q_{2}$ и $q_{3}$ также должна быть направлена по биссектрисе этого угла, но в другую сторону. А поскольку эти силы также направлены вдоль сторон треугольника $q_{2}q_{1}q_{3}$, то они должны быть равны по модулю между собой и каждая из них должна быть равна $T$. Обозначим через $l_{1}$ расстояние между зарядами $q_{2}$ и $q_{3}$, через $l_{2}$ — расстояние между зарядами $q_{2}$ и $q_{1}$, и через $l_{3}$ — расстояние между зарядами $q_{3}$ и $q_{1}$. Учитывая сказанное выше, получаем:
$\frac{q_{1}q_{2}}{4 \pi \epsilon_{0} l_{2}^{2}} = \frac{q_{1}q_{3}}{4 \pi \epsilon_{0} l_{3}^{2}}, \frac{q_{1}q_{2}}{4 \pi \epsilon_{0} l_{2}^{2}} = \frac{q_{2}q_{3}}{4 \pi \epsilon_{0} l_{1}^{2}}$,
откуда $q_{1}l_{1}^{2} = q_{2}l_{3}^{2} = q_{3}l_{2}^{2}$. Отсюда, с учётом соотношения $l_{1} + l_{2} + l_{3} = l$, получаем:
$l_{1} = \frac{l}{ 1 + \sqrt{ \frac{q_{1}}{q_{2}}} + \sqrt{ \frac{q_{1}}{q_{3}}}}; l_{2} = \frac{l}{ 1 + \sqrt{ \frac{q_{3}}{q_{1}}} + \sqrt{ \frac{q_{3}}{q_{2}}}}; l_{3} = \frac{l}{ 1 + \sqrt{ \frac{q_{2}}{q_{1}}} + \sqrt{ \frac{q_{2}}{q_{3}}}}$.
Теперь, зная, например, расстояние $l_{1}$ между зарядами $q_{2}$ и $q_{3}$, можно вычислить силу электростатического взаимодействия между ними. Эта сила, как мы уже выяснили, равна силе натяжения нити $T$:
$T = F_{23} = \frac{q_{2}q_{3}}{4 \pi \epsilon_{0}l_{1}^{2}} = \frac{q_{2}q_{3}}{4 \pi \epsilon_{0}l^{2}} \left ( 1 + \sqrt{ \frac{q_{1}}{q_{2}}} + \sqrt{ \frac{q_{1}}{q_{3}}} \right )^{2} = \frac{( \sqrt{ q_{2}q_{3}} + \sqrt{q_{1}q_{3}} + \sqrt{q_{1}q_{2}})^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} l^{2}}$.
Ответ формально получен. Но необходимо учесть, что в процессе решения все алгебраические преобразования были сделаны именно «формально». Мы нигде не учли, что длины сторон треугольника не могут быть произвольными, они обязательно связаны соотношениями («неравенство треугольника»):
$\begin{cases}
l_{1}+l_{2} > l_{3};\\
l_{1}+l_{3} > l_{2};\\
l_{2} + l_{3} > l_{1},\\
\end{cases}$ откуда $\begin{cases}
l_{1}+l_{2}+l_{3} > 2l_{3};\\
l_{1}+l_{3}+l_{3} > 2l_{2};\\
l_{2} + l_{3}+l_{3} > 2l_{1},\\
\end{cases}$ или $\begin{cases}
l_{1} < l/2;\\
l_{2} < l/2;\\
l_{3} < l/2,\\
\end{cases}$
Отсюда, с учётом полученных ранее выражений для $l_{1}, l_{2}$ и $l_{3}$:
$\begin{cases}
1 + \sqrt{ q_{1}/q_{2}} + \sqrt{q_{1}/q_{3}} > 2;\\
1 + \sqrt{ q_{3}/q_{1}} + \sqrt{q_{3}/q_{2}} > 2;\\
1 + \sqrt{ q_{2}/q_{1}} + \sqrt{q_{2}/q_{3}} > 2,\\
\end{cases}$ или $\begin{cases}
\sqrt{ q_{1}/q_{3}} + \sqrt{q_{1}q_{2}} > \sqrt{q_{2}q_{3}};\\
\sqrt{ q_{1}/q_{3}} + \sqrt{q_{2}q_{3}} > \sqrt{q_{1}q_{2}};\\
\sqrt{ q_{1}/q_{2}} + \sqrt{q_{2}q_{3}} > \sqrt{q_{1}q_{3}}.\\
\end{cases}$
Эти соотношения также можно переписать в виде:
$\frac{1}{ \sqrt{q_{2}}} + \frac{1}{ \sqrt{q_{3}}} > \frac{1}{ \sqrt{q_{1}}}; \frac{1}{ \sqrt{q_{2}}} + \frac{1}{ \sqrt{q_{1}}} > \frac{1}{ \sqrt{q_{3}}}; \frac{1}{ \sqrt{q_{3}}} + \frac{1}{ \sqrt{q_{1}}} > \frac{1}{ \sqrt{q_{2}}}$. (2)
Возникает вопрос: а что же случится, если эти условия окажутся невыполненными, и где допущена «ошибка» в приведённом выше формальном решении?
Немного подумав, можно сообразить, то заряды могут располагаться не только в вершинах треугольника, но и вдоль прямой линии (см. рис. 2). На первый взгляд такие варианты расположения зарядов кажутся неустойчивыми. Но, оказывается, это не так. В самом деле, хотя бы одно устойчивое положение равновесие у системы должно быть! Но если соотношение между зарядами таково, что система вообще не может существовать в виде треугольника, то остаются только варианты расположения зарядов «в линию», и хотя бы один из этих трёх вариантов обязательно должен быть устойчивым.
«Ошибку» же мы допустили, записывая соотношения (1). Первое из них представляет собой условие равновесия заряда $q_{1}$ по двум различным направлениям ($q_{1}-q_{2}$ и $q_{1} - q_{3}$). А если же эти направления совпадают, то (1) не следует из предыдущих рассуждений и может оказаться неверным. Действительно, если не выполнено условие (2), то (1) также не выполняется, и дальнейшие формальные алгебраические преобразования в этом случае приводят к не имеющему физического смысла результату, в чём мы и убедились.
Найдём силу натяжения нити в случае расположения зарядов «в линию». Рассмотрим, например, случай, показанный в верхней части рисунка 2.
Из условия равновесия заряда $q_{2}$ получаем:
$\frac{q_{1}q_{2}}{4 \pi \epsilon_{0} x_{1}^{2}} = \frac{q_{2}q_{3}}{4 \pi \epsilon_{0} x_{2}^{2} }, x_{1} +x_{2} = \frac{l}{2}$,
где $x_{1}$ и $x_{2}$ — расстояния между $q_{1}$ и $q_{2}$ и между $q_{2}$ и $q_{3}$ соответственно. Решая эту систему, находим: $x_{1} = \frac{l}{2} \cdot \frac{1}{1 + \sqrt{q_{3}/q_{1}}}$. Запишем условие равновесия заряда $q_{1}$ ( $T_{1}$ — сила натяжения нити в рассматриваемом случае):
$2T_{1} = \frac{q_{1}q_{3}}{4 \pi \epsilon_{0} (l/2)^{2}} + \frac{q_{1}q_{2}}{ 4 \pi \epsilon_{0} x_{1}^{2}}$.
Отсюда, с учётом выражения для $x_{1}$, находим силу натяжения нити:
$T = T_{1} = \frac{1}{2 \pi \epsilon{0}l^{2}} (q_{1}q_{3} + ( \sqrt{q_{1}q_{2}} + \sqrt{q_{2}q_{3}})^{2})$.
Остальные два варианта рассматриваются полностью аналогично.
Для полноты решения осталось рассмотреть вопрос об устойчивости равновесия в различных вариантах расположения зарядов (в условии задачи это не требуется, участникам олимпиады предлагалось найти только силу натяжения нити).
Прежде всего покажем, что у рассмотренной в задаче системы не может быть двух и более положений устойчивого равновесия.
Данная система имеет две степени свободы. В качестве таких степеней свободы (параметров или «координат» системы) можно выбрать, например, длины отрезков $l_{1}$ и $l_{2}$ (а $l_{3}$ определяется условием $l_{1} + l_{2} + l_{3} = l$ и поэтому самостоятельной степенью свободы не является).
Если у системы есть более одного положения устойчивого равновесия, то на координатной плоскости $(l_{1},l_{2})$ «вокруг» каждого из них должна быть своя «область притяжения» (область отклонений от равновесных значений $l_{1}$ и $l_{2}$, при которых система стремится восстановить эти равновесные значения — свои для каждой области). Понятно, что эти области должны отделяться друг от друга границами, все точки которых соответствуют неустойчивым положениям равновесия, из которых система может «свалиться» в одну из «областей притяжения». Но в нашей системе количество возможных положений равновесия конечно: один «треугольник», если он существует, а также три варианта, показанные на рис. 2. Поэтому построить из них «границы» (линии на плоскости $(l_{1}, l_{2})$) не получится.
Значит, у нашей системы имеется ровно одно положение устойчивого равновесия. Очевидно, потенциальная энергия электростатического взаимодействия зарядов в этом положении будет минимальной по сравнению с другими возможными вариантами расположения зарядов в данной системе.
Далее отметим, что если конфигурация «треугольник» (рис 1) возможна, то она обязательно является устойчивой. В самом деле, в этом случае все три силы попарного взаимодействия между зарядами равны (как это было выяснено на соответствующем этапе решения задачи). Для того, чтобы из этого «треугольника» получить какое-нибудь другое расположение зарядов, какие-то расстояния между зарядами придётся уменьшить (увеличив энергию системы), а какие-то расстояния между зарядами увеличатся (при этом энергия системы, наоборот, уменьшится). Суммарное изменение расстояний при этом будет нулевым, так как длина нити $l$ не меняется. Но сила взаимодействия между зарядами убывает с расстоянием. Поэтому при уменьшении расстояния между зарядами увеличение энергии системы будет больше, чем уменьшение энергии в результате увеличения расстояния между другими зарядами. Следовательно, потенциальная энергия системы в равновесном положении «треугольник» минимальна по сравнению с любым другим расположением зарядов, поэтому этот «треугольник» и является положением устойчивого равновесия
(если «треугольник» существует, то он является единственным, так как длины его сторон $l_{1}, l_{2}$ и $l_{3}$ однозначно определяются из решения).
Если соотношение зарядов $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ таково, что заряды не могут располагаться в вершинах треугольника, то понятно, что возможных положений равновесия всего 3 (рис. 2); одно из них — устойчивое, а два других — неустойчивые. Устойчивой будет та конфигурация, в которой меньший заряд находится между большими (две другие комбинации зарядов не обладают минимальной потенциальной энергией — эту энергию можно уменьшить, меняя соответствующие заряды местами).
На гладкую непроводящую нить длиной $l$ надеты три бусинки с положительными зарядами $q_{1}, q_{2}$ и $q_{3}$. Концы нити соединены. Найдите силу натяжения нити $T$, когда система находится в равновесии.
Решение:
рис.1
рис.2
Рассмотрим случай, когда заряды располагаются в вершинах треугольника (см. рис. 1). Для этого рассмотрим какой-либо заряд, например, $q_{1}$. Сумма сил, действующих на этот заряд, равна нулю (заряд неподвижен). Со стороны нити на этот заряд действуют две одинаковые по модулю силы натяжения $T$, направленные вдоль сторон треугольника $q_{1}q_{2}q_{3}$. Следовательно, равнодействующая этих сил направлена по биссектрисе угла $q_{1}q_{2}q_{3}$. Тогда равнодействующая сил электростатического взаимодействия заряда $q_{1}$ с зарядами $q_{2}$ и $q_{3}$ также должна быть направлена по биссектрисе этого угла, но в другую сторону. А поскольку эти силы также направлены вдоль сторон треугольника $q_{2}q_{1}q_{3}$, то они должны быть равны по модулю между собой и каждая из них должна быть равна $T$. Обозначим через $l_{1}$ расстояние между зарядами $q_{2}$ и $q_{3}$, через $l_{2}$ — расстояние между зарядами $q_{2}$ и $q_{1}$, и через $l_{3}$ — расстояние между зарядами $q_{3}$ и $q_{1}$. Учитывая сказанное выше, получаем:
$\frac{q_{1}q_{2}}{4 \pi \epsilon_{0} l_{2}^{2}} = \frac{q_{1}q_{3}}{4 \pi \epsilon_{0} l_{3}^{2}}, \frac{q_{1}q_{2}}{4 \pi \epsilon_{0} l_{2}^{2}} = \frac{q_{2}q_{3}}{4 \pi \epsilon_{0} l_{1}^{2}}$,
откуда $q_{1}l_{1}^{2} = q_{2}l_{3}^{2} = q_{3}l_{2}^{2}$. Отсюда, с учётом соотношения $l_{1} + l_{2} + l_{3} = l$, получаем:
$l_{1} = \frac{l}{ 1 + \sqrt{ \frac{q_{1}}{q_{2}}} + \sqrt{ \frac{q_{1}}{q_{3}}}}; l_{2} = \frac{l}{ 1 + \sqrt{ \frac{q_{3}}{q_{1}}} + \sqrt{ \frac{q_{3}}{q_{2}}}}; l_{3} = \frac{l}{ 1 + \sqrt{ \frac{q_{2}}{q_{1}}} + \sqrt{ \frac{q_{2}}{q_{3}}}}$.
Теперь, зная, например, расстояние $l_{1}$ между зарядами $q_{2}$ и $q_{3}$, можно вычислить силу электростатического взаимодействия между ними. Эта сила, как мы уже выяснили, равна силе натяжения нити $T$:
$T = F_{23} = \frac{q_{2}q_{3}}{4 \pi \epsilon_{0}l_{1}^{2}} = \frac{q_{2}q_{3}}{4 \pi \epsilon_{0}l^{2}} \left ( 1 + \sqrt{ \frac{q_{1}}{q_{2}}} + \sqrt{ \frac{q_{1}}{q_{3}}} \right )^{2} = \frac{( \sqrt{ q_{2}q_{3}} + \sqrt{q_{1}q_{3}} + \sqrt{q_{1}q_{2}})^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} l^{2}}$.
Ответ формально получен. Но необходимо учесть, что в процессе решения все алгебраические преобразования были сделаны именно «формально». Мы нигде не учли, что длины сторон треугольника не могут быть произвольными, они обязательно связаны соотношениями («неравенство треугольника»):
$\begin{cases}
l_{1}+l_{2} > l_{3};\\
l_{1}+l_{3} > l_{2};\\
l_{2} + l_{3} > l_{1},\\
\end{cases}$ откуда $\begin{cases}
l_{1}+l_{2}+l_{3} > 2l_{3};\\
l_{1}+l_{3}+l_{3} > 2l_{2};\\
l_{2} + l_{3}+l_{3} > 2l_{1},\\
\end{cases}$ или $\begin{cases}
l_{1} < l/2;\\
l_{2} < l/2;\\
l_{3} < l/2,\\
\end{cases}$
Отсюда, с учётом полученных ранее выражений для $l_{1}, l_{2}$ и $l_{3}$:
$\begin{cases}
1 + \sqrt{ q_{1}/q_{2}} + \sqrt{q_{1}/q_{3}} > 2;\\
1 + \sqrt{ q_{3}/q_{1}} + \sqrt{q_{3}/q_{2}} > 2;\\
1 + \sqrt{ q_{2}/q_{1}} + \sqrt{q_{2}/q_{3}} > 2,\\
\end{cases}$ или $\begin{cases}
\sqrt{ q_{1}/q_{3}} + \sqrt{q_{1}q_{2}} > \sqrt{q_{2}q_{3}};\\
\sqrt{ q_{1}/q_{3}} + \sqrt{q_{2}q_{3}} > \sqrt{q_{1}q_{2}};\\
\sqrt{ q_{1}/q_{2}} + \sqrt{q_{2}q_{3}} > \sqrt{q_{1}q_{3}}.\\
\end{cases}$
Эти соотношения также можно переписать в виде:
$\frac{1}{ \sqrt{q_{2}}} + \frac{1}{ \sqrt{q_{3}}} > \frac{1}{ \sqrt{q_{1}}}; \frac{1}{ \sqrt{q_{2}}} + \frac{1}{ \sqrt{q_{1}}} > \frac{1}{ \sqrt{q_{3}}}; \frac{1}{ \sqrt{q_{3}}} + \frac{1}{ \sqrt{q_{1}}} > \frac{1}{ \sqrt{q_{2}}}$. (2)
Возникает вопрос: а что же случится, если эти условия окажутся невыполненными, и где допущена «ошибка» в приведённом выше формальном решении?
Немного подумав, можно сообразить, то заряды могут располагаться не только в вершинах треугольника, но и вдоль прямой линии (см. рис. 2). На первый взгляд такие варианты расположения зарядов кажутся неустойчивыми. Но, оказывается, это не так. В самом деле, хотя бы одно устойчивое положение равновесие у системы должно быть! Но если соотношение между зарядами таково, что система вообще не может существовать в виде треугольника, то остаются только варианты расположения зарядов «в линию», и хотя бы один из этих трёх вариантов обязательно должен быть устойчивым.
«Ошибку» же мы допустили, записывая соотношения (1). Первое из них представляет собой условие равновесия заряда $q_{1}$ по двум различным направлениям ($q_{1}-q_{2}$ и $q_{1} - q_{3}$). А если же эти направления совпадают, то (1) не следует из предыдущих рассуждений и может оказаться неверным. Действительно, если не выполнено условие (2), то (1) также не выполняется, и дальнейшие формальные алгебраические преобразования в этом случае приводят к не имеющему физического смысла результату, в чём мы и убедились.
Найдём силу натяжения нити в случае расположения зарядов «в линию». Рассмотрим, например, случай, показанный в верхней части рисунка 2.
Из условия равновесия заряда $q_{2}$ получаем:
$\frac{q_{1}q_{2}}{4 \pi \epsilon_{0} x_{1}^{2}} = \frac{q_{2}q_{3}}{4 \pi \epsilon_{0} x_{2}^{2} }, x_{1} +x_{2} = \frac{l}{2}$,
где $x_{1}$ и $x_{2}$ — расстояния между $q_{1}$ и $q_{2}$ и между $q_{2}$ и $q_{3}$ соответственно. Решая эту систему, находим: $x_{1} = \frac{l}{2} \cdot \frac{1}{1 + \sqrt{q_{3}/q_{1}}}$. Запишем условие равновесия заряда $q_{1}$ ( $T_{1}$ — сила натяжения нити в рассматриваемом случае):
$2T_{1} = \frac{q_{1}q_{3}}{4 \pi \epsilon_{0} (l/2)^{2}} + \frac{q_{1}q_{2}}{ 4 \pi \epsilon_{0} x_{1}^{2}}$.
Отсюда, с учётом выражения для $x_{1}$, находим силу натяжения нити:
$T = T_{1} = \frac{1}{2 \pi \epsilon{0}l^{2}} (q_{1}q_{3} + ( \sqrt{q_{1}q_{2}} + \sqrt{q_{2}q_{3}})^{2})$.
Остальные два варианта рассматриваются полностью аналогично.
Для полноты решения осталось рассмотреть вопрос об устойчивости равновесия в различных вариантах расположения зарядов (в условии задачи это не требуется, участникам олимпиады предлагалось найти только силу натяжения нити).
Прежде всего покажем, что у рассмотренной в задаче системы не может быть двух и более положений устойчивого равновесия.
Данная система имеет две степени свободы. В качестве таких степеней свободы (параметров или «координат» системы) можно выбрать, например, длины отрезков $l_{1}$ и $l_{2}$ (а $l_{3}$ определяется условием $l_{1} + l_{2} + l_{3} = l$ и поэтому самостоятельной степенью свободы не является).
Если у системы есть более одного положения устойчивого равновесия, то на координатной плоскости $(l_{1},l_{2})$ «вокруг» каждого из них должна быть своя «область притяжения» (область отклонений от равновесных значений $l_{1}$ и $l_{2}$, при которых система стремится восстановить эти равновесные значения — свои для каждой области). Понятно, что эти области должны отделяться друг от друга границами, все точки которых соответствуют неустойчивым положениям равновесия, из которых система может «свалиться» в одну из «областей притяжения». Но в нашей системе количество возможных положений равновесия конечно: один «треугольник», если он существует, а также три варианта, показанные на рис. 2. Поэтому построить из них «границы» (линии на плоскости $(l_{1}, l_{2})$) не получится.
Значит, у нашей системы имеется ровно одно положение устойчивого равновесия. Очевидно, потенциальная энергия электростатического взаимодействия зарядов в этом положении будет минимальной по сравнению с другими возможными вариантами расположения зарядов в данной системе.
Далее отметим, что если конфигурация «треугольник» (рис 1) возможна, то она обязательно является устойчивой. В самом деле, в этом случае все три силы попарного взаимодействия между зарядами равны (как это было выяснено на соответствующем этапе решения задачи). Для того, чтобы из этого «треугольника» получить какое-нибудь другое расположение зарядов, какие-то расстояния между зарядами придётся уменьшить (увеличив энергию системы), а какие-то расстояния между зарядами увеличатся (при этом энергия системы, наоборот, уменьшится). Суммарное изменение расстояний при этом будет нулевым, так как длина нити $l$ не меняется. Но сила взаимодействия между зарядами убывает с расстоянием. Поэтому при уменьшении расстояния между зарядами увеличение энергии системы будет больше, чем уменьшение энергии в результате увеличения расстояния между другими зарядами. Следовательно, потенциальная энергия системы в равновесном положении «треугольник» минимальна по сравнению с любым другим расположением зарядов, поэтому этот «треугольник» и является положением устойчивого равновесия
(если «треугольник» существует, то он является единственным, так как длины его сторон $l_{1}, l_{2}$ и $l_{3}$ однозначно определяются из решения).
Если соотношение зарядов $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ таково, что заряды не могут располагаться в вершинах треугольника, то понятно, что возможных положений равновесия всего 3 (рис. 2); одно из них — устойчивое, а два других — неустойчивые. Устойчивой будет та конфигурация, в которой меньший заряд находится между большими (две другие комбинации зарядов не обладают минимальной потенциальной энергией — эту энергию можно уменьшить, меняя соответствующие заряды местами).
