Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12185
2019-12-25 
Глубоководный батискаф сварен из двух полусфер радиуса $R = 2 м$. Батискаф должен погружаться на глубину $H = 10 км$. Какое напряжение (отношение модуля силы к длине экватора) должен выдерживать шов батискафа, если сварной экватор расположен: а) горизонтально? б) вертикально?
Решение:
а) Сила, действующая по экватору на нижнюю часть батискафа, равна весу столба воды над верхней полусферой (рис.). Объем этого столба равен объему цилиндра радиусом $R$ м высотой $H$ без объема полусферы радиусом $R$, поэтому модуль веса воды равен
$P = \rho g \left ( H \pi R^{2} - \frac{2}{3} \pi R^{3} \right )$.
Напряжение, которое должен выдерживать шов батискафа, равно
$\sigma_{a} = \frac{P}{2 \pi R} = \frac{l}{2} \rho g \left ( HR - \frac{2}{3}R^{2} \right )$.
б) Рассмотрим две маленькие площадки площадью $\Delta s$ каждая, находящиеся на расстоянии $h$ выше и ниже центра сферы (рис.). На верхнюю площадку действует сила $\vec{F}_{1}$, модуль которой $F_{1} = \varrho g (H - h) \Delta s$. Проекция этой силы на горизонтальную плоскость равна
$F_{1} \cos \alpha = \varrho g(H - h) \Delta s \cos \alpha$,
На нижнюю площадку действует сила $\vec{F}_{2}$ ее модуль $F_{2} = \varrho g (H - h ) \Delta s \cos \alpha$, а проекция на горизонтальную плоскость равна
$F_{2} \cos \alpha = \varrho g(H + h) \Delta s \cos \alpha$.
Сумма этих проекции не зависит от $h$ и равна
$2 \varrho gH \Delta s \cos \alpha$,
Но $\Delta s \cos \alpha$ и представляет собой проекцию площадки $\Delta s$ на вертикальную плоскость. Отсюда следует, что сумма $F$ горизонтальные проекции сил, действующих на всю правую полусферу, равна произведению величины $2 \varrho gH$ на половину площади сечения полусферы, проходящего через вертикальный диаметр:
$F = 2 \rho gH \frac{1}{2} \pi R^{2} = \rho g H \pi R^{2}$.
Напряжение, которое должен выдерживать шов в этом случае, равно
$\sigma_{б} = \frac{ \rho gH \pi R^{2} }{2 \pi R} = \frac{1}{2} \rho g HR$.
Так как $H \gg R$, то
$\sigma_{a} \approx \sigma_{б} = \frac{1}{2} \rho gHR = 10^{8} Н/м$.
Мы привели строгое решение задачи, справедливое дли всех значений $H$. При $H \gg R$ ответ, конечно, можно получить сразу, без сложных вычислений, так как в этом случае можно считать, что давление во всех точках батискафа одно и то же.
Глубоководный батискаф сварен из двух полусфер радиуса $R = 2 м$. Батискаф должен погружаться на глубину $H = 10 км$. Какое напряжение (отношение модуля силы к длине экватора) должен выдерживать шов батискафа, если сварной экватор расположен: а) горизонтально? б) вертикально?
Решение:
а) Сила, действующая по экватору на нижнюю часть батискафа, равна весу столба воды над верхней полусферой (рис.). Объем этого столба равен объему цилиндра радиусом $R$ м высотой $H$ без объема полусферы радиусом $R$, поэтому модуль веса воды равен
$P = \rho g \left ( H \pi R^{2} - \frac{2}{3} \pi R^{3} \right )$.
Напряжение, которое должен выдерживать шов батискафа, равно
$\sigma_{a} = \frac{P}{2 \pi R} = \frac{l}{2} \rho g \left ( HR - \frac{2}{3}R^{2} \right )$.
б) Рассмотрим две маленькие площадки площадью $\Delta s$ каждая, находящиеся на расстоянии $h$ выше и ниже центра сферы (рис.). На верхнюю площадку действует сила $\vec{F}_{1}$, модуль которой $F_{1} = \varrho g (H - h) \Delta s$. Проекция этой силы на горизонтальную плоскость равна
$F_{1} \cos \alpha = \varrho g(H - h) \Delta s \cos \alpha$,
На нижнюю площадку действует сила $\vec{F}_{2}$ ее модуль $F_{2} = \varrho g (H - h ) \Delta s \cos \alpha$, а проекция на горизонтальную плоскость равна
$F_{2} \cos \alpha = \varrho g(H + h) \Delta s \cos \alpha$.
Сумма этих проекции не зависит от $h$ и равна
$2 \varrho gH \Delta s \cos \alpha$,
Но $\Delta s \cos \alpha$ и представляет собой проекцию площадки $\Delta s$ на вертикальную плоскость. Отсюда следует, что сумма $F$ горизонтальные проекции сил, действующих на всю правую полусферу, равна произведению величины $2 \varrho gH$ на половину площади сечения полусферы, проходящего через вертикальный диаметр:
$F = 2 \rho gH \frac{1}{2} \pi R^{2} = \rho g H \pi R^{2}$.
Напряжение, которое должен выдерживать шов в этом случае, равно
$\sigma_{б} = \frac{ \rho gH \pi R^{2} }{2 \pi R} = \frac{1}{2} \rho g HR$.
Так как $H \gg R$, то
$\sigma_{a} \approx \sigma_{б} = \frac{1}{2} \rho gHR = 10^{8} Н/м$.
Мы привели строгое решение задачи, справедливое дли всех значений $H$. При $H \gg R$ ответ, конечно, можно получить сразу, без сложных вычислений, так как в этом случае можно считать, что давление во всех точках батискафа одно и то же.
