Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12182
2019-12-25 
Маленький тяжелый шарик влетает через отверстие внутри гладкой сферы той же массы, проходя на расстоянии $R/2$ от центра сферы ($R$ - радиус сферы). После влета шарика отверстие автоматически закрывается. Считая соударения между шариком и сферой абсолютно упругим, найти траектории шарики и центра сферы в той системе отсчета, в которой сфера первоначально покоилась. Определить параметры этих траекторий и отметить на них точки, в которых происходят соударения.
Решение:
Пусть шарик влетает в отверстие со скоростью $\vec{v}$ относительно той системы отсчета, в которой сфера первоначально покоилась. Очевидно, что все движения будут происходить в плоскости, где лежат вектор $\vec{v}$ и центр сферы.
Мессы шарика и сферы равны, потому центр масс системы будет двигаться со скоростью $ \vec{v}/2$ по прямой. Лежащей в той же плоскости на расстоянии $R/4$ от центра сферы. Так как внешние силы на систему не действуют, движение центра масс не изменится даже при наличии каких-либо соударений внутри системы.
По условию задачи соударения абсолютно упругие, а поверхности гладкие. Это означает, что касательная проекции скорости шарика относительно сферы остается неизменной, а нормальная меняет знак на противоположный. Следовательно, при каждом соударении модуль вектора скорости шарика относительно сферы не меняется и остается равным $| \vec{v} |$, а углы падения и отражении конгруэнтны. Траектория шарика относительно сферы имеет вид вписанного равностороннего треугольника со стороной $R \sqrt{3}$ (показан красным на рисунке), а промежутки времени между последовательными соударениями равны $\frac{R \sqrt{3} }{| \vec{v} |}$.
Центр масс системы относительно сферы движется со скоростью вдвое меньшей, и его траектории - тоже равносторонний треугольник, но со стороной $ \frac{R \sqrt{3}}{2}$ (показан черным на рисунке).
Теперь рассмотрим поступательно движущуюся систему отсчета, где неподвижна не сфера, а центр масс системы. Скорости шарика и центра сферы в этой системе одинаковы по модулю, который равен $\frac{ | \vec{v} |}{2}$, а движение происходит по траекториям, изображенным соответствующими цветами на рисунках.
В заключение остается перейти в исходную систему отсчета, где сфера первоначально покоилась, шарик двигался со скоростью $\vec{v}$, а центр масс все время движется со скоростью $\frac{ \vec{v}}{2}$ (рис.). Дли такого перехода необходимо прибавить вектор $\frac{ \vec{v} }{2}$ ко всем векторам скоростей, изображенными на рисунках. Получится, что до первого соударения (после "нулевого", третьего, шестого, ... $3n$-гo) шарик движется со скоростью, равной по модулю $| \vec{v} |$ и направленной параллельно скорости (и траектории) центра масс, и проходит расстояние $R \sqrt{3}$. Сфера в этот промежуток времени покоится.
После первого (четвертого, седьмого, .... $(3n + 1)$ - го) соударения вектор скорости шарика направлен под углом $- \pi/3$ к вектору скорости центра масс и по модулю равен $\frac{| \vec{v} |}{2}$. До второго соударения шарик проходит путь $\frac{ R \sqrt{3}}{2}$. Соответственно скорость сферы направлена под углом $\pi / 6$ к тому же вектору, а ее модуль равен $\frac{ | \vec{v} | \sqrt{3}}{2}$. Сфера проходит путь $\frac{3R}{2}$.
После второго (пятого, восьмого, ........ $(3n - 2)$-го) соударения векторы скоростей шарика и центра масс составляют угол $\pi /3$ и равны по модулю $\frac{ | \vec{v} | }{2}$. Путь шарика прежний, то есть $\frac{R \sqrt{3}}{2}$. Наклон вектора скорости сферы и это время $- \pi /6$, модуль скорости $\frac{ | \vec{v} | \sqrt{3}}{2}$, путь $\frac{3R}{2}$.
Далее картина повторяется, то есть между третьим и четвертым соударениями сфера снова покоится, а шарик движется со скоростью $\vec{v}$ и т.д.
Маленький тяжелый шарик влетает через отверстие внутри гладкой сферы той же массы, проходя на расстоянии $R/2$ от центра сферы ($R$ - радиус сферы). После влета шарика отверстие автоматически закрывается. Считая соударения между шариком и сферой абсолютно упругим, найти траектории шарики и центра сферы в той системе отсчета, в которой сфера первоначально покоилась. Определить параметры этих траекторий и отметить на них точки, в которых происходят соударения.
Решение:
Пусть шарик влетает в отверстие со скоростью $\vec{v}$ относительно той системы отсчета, в которой сфера первоначально покоилась. Очевидно, что все движения будут происходить в плоскости, где лежат вектор $\vec{v}$ и центр сферы.
Мессы шарика и сферы равны, потому центр масс системы будет двигаться со скоростью $ \vec{v}/2$ по прямой. Лежащей в той же плоскости на расстоянии $R/4$ от центра сферы. Так как внешние силы на систему не действуют, движение центра масс не изменится даже при наличии каких-либо соударений внутри системы.
По условию задачи соударения абсолютно упругие, а поверхности гладкие. Это означает, что касательная проекции скорости шарика относительно сферы остается неизменной, а нормальная меняет знак на противоположный. Следовательно, при каждом соударении модуль вектора скорости шарика относительно сферы не меняется и остается равным $| \vec{v} |$, а углы падения и отражении конгруэнтны. Траектория шарика относительно сферы имеет вид вписанного равностороннего треугольника со стороной $R \sqrt{3}$ (показан красным на рисунке), а промежутки времени между последовательными соударениями равны $\frac{R \sqrt{3} }{| \vec{v} |}$.
Центр масс системы относительно сферы движется со скоростью вдвое меньшей, и его траектории - тоже равносторонний треугольник, но со стороной $ \frac{R \sqrt{3}}{2}$ (показан черным на рисунке).
Теперь рассмотрим поступательно движущуюся систему отсчета, где неподвижна не сфера, а центр масс системы. Скорости шарика и центра сферы в этой системе одинаковы по модулю, который равен $\frac{ | \vec{v} |}{2}$, а движение происходит по траекториям, изображенным соответствующими цветами на рисунках.
В заключение остается перейти в исходную систему отсчета, где сфера первоначально покоилась, шарик двигался со скоростью $\vec{v}$, а центр масс все время движется со скоростью $\frac{ \vec{v}}{2}$ (рис.). Дли такого перехода необходимо прибавить вектор $\frac{ \vec{v} }{2}$ ко всем векторам скоростей, изображенными на рисунках. Получится, что до первого соударения (после "нулевого", третьего, шестого, ... $3n$-гo) шарик движется со скоростью, равной по модулю $| \vec{v} |$ и направленной параллельно скорости (и траектории) центра масс, и проходит расстояние $R \sqrt{3}$. Сфера в этот промежуток времени покоится.
После первого (четвертого, седьмого, .... $(3n + 1)$ - го) соударения вектор скорости шарика направлен под углом $- \pi/3$ к вектору скорости центра масс и по модулю равен $\frac{| \vec{v} |}{2}$. До второго соударения шарик проходит путь $\frac{ R \sqrt{3}}{2}$. Соответственно скорость сферы направлена под углом $\pi / 6$ к тому же вектору, а ее модуль равен $\frac{ | \vec{v} | \sqrt{3}}{2}$. Сфера проходит путь $\frac{3R}{2}$.
После второго (пятого, восьмого, ........ $(3n - 2)$-го) соударения векторы скоростей шарика и центра масс составляют угол $\pi /3$ и равны по модулю $\frac{ | \vec{v} | }{2}$. Путь шарика прежний, то есть $\frac{R \sqrt{3}}{2}$. Наклон вектора скорости сферы и это время $- \pi /6$, модуль скорости $\frac{ | \vec{v} | \sqrt{3}}{2}$, путь $\frac{3R}{2}$.
Далее картина повторяется, то есть между третьим и четвертым соударениями сфера снова покоится, а шарик движется со скоростью $\vec{v}$ и т.д.
