Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1218
2016-10-20 
Две одинаковые бусинки с одинаковыми одноимёнными зарядами нанизаны на гладкую горизонтальную непроводящую спицу. Известно, что если эти бусинки расположить на расстоянии $r_{0}$ друг от друга и отпустить без начальной скорости, то расстояние между ними удвоится через время $t_{0}$. Через какое время $t_{1}$ расстояние между бусинками удвоится, если начальное расстояние между ними увеличить в $k$ раз?
Решение:
Будем решать задачу методом размерностей. Так как сила взаимодействия бусинок равна $\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{q^{2}}{r^{2}}$, то их ускорение пропорционально $\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{q^{2}}{mr^{2}}$. Поэтому время разлёта бусинок $t_{0}$ однозначно определяется двумя параметрами: $r_{0}$ и $\alpha = \frac{q^{2}}{ \epsilon_{0} m}$. Эти параметры имеют следующие размерности: $[r_{0}] = м, [ \alpha] = м^{3}/с^{2}$. Из двух параметров такой размерности можно составить единственную комбинацию $\tau$. имеющую размерность времени: $\tau = (r_{0}^{3}/ \alpha)^{1/2}$. Таким образом, время $t$, за которое начальное расстояние между бусинками удвоится, зависит от величины $r_{0}$ следующим образом: $t = const \cdot \tau = const \cdot (r_{0}^{3}/ \alpha)^{1/2}$. Значит, при увеличении расстояния $r_{0}$ в $k$ раз время $t$ увеличится в $k^{3/2}$ раз, то есть $t_{1} = k^{3/2} \cdot t_{0}$.
Две одинаковые бусинки с одинаковыми одноимёнными зарядами нанизаны на гладкую горизонтальную непроводящую спицу. Известно, что если эти бусинки расположить на расстоянии $r_{0}$ друг от друга и отпустить без начальной скорости, то расстояние между ними удвоится через время $t_{0}$. Через какое время $t_{1}$ расстояние между бусинками удвоится, если начальное расстояние между ними увеличить в $k$ раз?
Решение:
Будем решать задачу методом размерностей. Так как сила взаимодействия бусинок равна $\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{q^{2}}{r^{2}}$, то их ускорение пропорционально $\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{q^{2}}{mr^{2}}$. Поэтому время разлёта бусинок $t_{0}$ однозначно определяется двумя параметрами: $r_{0}$ и $\alpha = \frac{q^{2}}{ \epsilon_{0} m}$. Эти параметры имеют следующие размерности: $[r_{0}] = м, [ \alpha] = м^{3}/с^{2}$. Из двух параметров такой размерности можно составить единственную комбинацию $\tau$. имеющую размерность времени: $\tau = (r_{0}^{3}/ \alpha)^{1/2}$. Таким образом, время $t$, за которое начальное расстояние между бусинками удвоится, зависит от величины $r_{0}$ следующим образом: $t = const \cdot \tau = const \cdot (r_{0}^{3}/ \alpha)^{1/2}$. Значит, при увеличении расстояния $r_{0}$ в $k$ раз время $t$ увеличится в $k^{3/2}$ раз, то есть $t_{1} = k^{3/2} \cdot t_{0}$.
