Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12179
2019-12-20 
Тяжелая доска массы $M$ лежит ни двух тонкостенных катках радиусов $r$ и $R$ и равных масс $m$.
Расстояние между центрами катков $l$. С каким ускорением начнет двигаться доска, если ее отпустить? Трение между всеми поверхностями таково, что проскальзывания нет.
Решение:
Так как проскальзывание между всеми поверхностями отсутствует, при движении доски и катков будут оставаться неизменными расстояние $|AB|$ между точками касания катков и горизонтальной плоскостью и равное ему расстояние $| A^{ \prime}B^{ \prime} |$ между точками касания катков и доски (рис.). Следовательно, не будет изменяться и расстояние $|O_{1}O_{2}| = l$ между центрами катков. А это означает, что скорости центров обоих каткой в любой момент времени одинаковы и направлены по прямой $O_{1}O_{2}$.
Найдем направление скорости центра масс доски О. Пусть скорость центров катков равна $\vec{v}$. Тогда в системе отсчета, движущейся с этой скоростью, центры катков
неподвижны, скорости же точек $A^{ \prime}$ и $B^{ \prime}$, а значит, и скорость $\vec{v}^{ \prime}$ центра масс доски равны по модулю и направлены вдоль доски. В неподвижной относительно горизонтальной плоскости системе отсчета скорость $\vec{u}$ центра масс доски равна векторной сумме скоростей $\vec{v}^{ \prime}$ и $\vec{v}$. Из рисунка видно, что скорость и направлена параллельно прямой $O_{1}O_{2}$. Так же направлены перемещение доски и ее ускорение.
Обозначим через $\vec{s}$ перемещение центра масс доски в тот момент, когда его скорость равна $\vec{u}$. В этот момент модуль скорости центров катков $| \vec{v} | = \frac{| \vec{u} |}{2 \cos \alpha}$ и кинетическая энергия всей системы равна
$2 \frac{m | \vec{v} |^{2} }{2} + \frac{M | \vec{u}^{2} | }{2} = \frac{| \vec{u} |^{2} }{4} (m \cos^{2} \alpha + 2M )$.
Изменение кинетической энергии системы происходит за счет изменения потенциальной энергии доски:
$\frac{| \vec{u} |^{2} }{4} (m \cos^{2} \alpha + 2M ) = Mgh$,
где $h = | \vec{s} | \sin \alpha, a \sin \alpha = \frac{R - r}{l}$.
Так как доска движется равноускоренно (действующие на систему силы постоянны), справедливо равенство
$| \vec{u} |^{2} = 2 | \vec{a} | | \vec{s} |$
($\vec{a}$ - ускорение доски).
Используя полученные соотношения, найдем
$| \vec{a} | = g \frac{2(R - r)}{l \left ( 2 + \frac{m}{M} \left (1 - \frac{(R - r)^{2}}{l^{2} } \right ) \right ) }$.
Тяжелая доска массы $M$ лежит ни двух тонкостенных катках радиусов $r$ и $R$ и равных масс $m$.
Расстояние между центрами катков $l$. С каким ускорением начнет двигаться доска, если ее отпустить? Трение между всеми поверхностями таково, что проскальзывания нет.
Решение:
Так как проскальзывание между всеми поверхностями отсутствует, при движении доски и катков будут оставаться неизменными расстояние $|AB|$ между точками касания катков и горизонтальной плоскостью и равное ему расстояние $| A^{ \prime}B^{ \prime} |$ между точками касания катков и доски (рис.). Следовательно, не будет изменяться и расстояние $|O_{1}O_{2}| = l$ между центрами катков. А это означает, что скорости центров обоих каткой в любой момент времени одинаковы и направлены по прямой $O_{1}O_{2}$.
Найдем направление скорости центра масс доски О. Пусть скорость центров катков равна $\vec{v}$. Тогда в системе отсчета, движущейся с этой скоростью, центры катков
неподвижны, скорости же точек $A^{ \prime}$ и $B^{ \prime}$, а значит, и скорость $\vec{v}^{ \prime}$ центра масс доски равны по модулю и направлены вдоль доски. В неподвижной относительно горизонтальной плоскости системе отсчета скорость $\vec{u}$ центра масс доски равна векторной сумме скоростей $\vec{v}^{ \prime}$ и $\vec{v}$. Из рисунка видно, что скорость и направлена параллельно прямой $O_{1}O_{2}$. Так же направлены перемещение доски и ее ускорение.
Обозначим через $\vec{s}$ перемещение центра масс доски в тот момент, когда его скорость равна $\vec{u}$. В этот момент модуль скорости центров катков $| \vec{v} | = \frac{| \vec{u} |}{2 \cos \alpha}$ и кинетическая энергия всей системы равна
$2 \frac{m | \vec{v} |^{2} }{2} + \frac{M | \vec{u}^{2} | }{2} = \frac{| \vec{u} |^{2} }{4} (m \cos^{2} \alpha + 2M )$.
Изменение кинетической энергии системы происходит за счет изменения потенциальной энергии доски:
$\frac{| \vec{u} |^{2} }{4} (m \cos^{2} \alpha + 2M ) = Mgh$,
где $h = | \vec{s} | \sin \alpha, a \sin \alpha = \frac{R - r}{l}$.
Так как доска движется равноускоренно (действующие на систему силы постоянны), справедливо равенство
$| \vec{u} |^{2} = 2 | \vec{a} | | \vec{s} |$
($\vec{a}$ - ускорение доски).
Используя полученные соотношения, найдем
$| \vec{a} | = g \frac{2(R - r)}{l \left ( 2 + \frac{m}{M} \left (1 - \frac{(R - r)^{2}}{l^{2} } \right ) \right ) }$.
