Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12176
2019-12-20 
На шероховатый медный конус (покрытый мелкой насечкой, как напильник) надеты две шайбы: алюминиевая с отверстием радиуса $r = 1 см$ и железная с отверстием радиуса $R = 3 см$. Расстояние между шайбами $a = 6 см$. На сколько изменится это расстояние, если конус и шайбы нагреть на $\Delta t = 200 К$? Тепловые коэффициенты линейного расширения меди, алюминия и железа равны соответственно $\beta_{1} = 1,7 \cdot 10^{-5} К^{-1}, \beta_{2} = 2,5 \cdot 10^{-5} К^{-1}$ и $\beta_{3} = 10^{-5} К^{-1}$. Конус расположен вертикально, вершиной вверх.
Решение:
Расстояние $h$ от центра алюминиевой шайбы до вершины конуса определяется уравнением $\frac{h + a}{h} = \frac{R}{r}$ (рис.) и равно $h = a \frac{r}{R - r} = 3 см$.
При нагревании алюминиевая шайба расширяется больше, чем участок конуса, с которым она соприкасается ($\beta_{2} > beta_{1}$), поэтому она соскальзывает вниз. Железная шайба "заклинивается" на конусе ($\beta_{3} < \beta_{1}$) и смещается вместе с участком конуса, на котором она держится. При нагревании угол при вершине конуса не изменяется. Новое расстояние $h^{ \prime}$ от центра алюминиевой шайбы до вершины конуса определяется уравнением $\frac{h^{ \prime} }{h} = \frac{r^{ \prime} }{r}$ и равно
$h^{ \prime} = h \frac{r(1 + \beta_{2} \Delta t ) }{r} = h(1 + \beta_{2} \Delta t )$.
новое расстояние от центра железной шайбы до вершины конуса равно
$H^{ \prime} = (h + a)(1 + \beta_{1} \Delta t)$.
Расстояние между шайбами при нагревании увеличилось на
$\Delta a = (H^{ \prime } - h^{ \prime}) - a = a \beta_{1} \Delta t - h ( \beta_{2} - \beta_{1}) \Delta t \approx 0,16 мм$.
На шероховатый медный конус (покрытый мелкой насечкой, как напильник) надеты две шайбы: алюминиевая с отверстием радиуса $r = 1 см$ и железная с отверстием радиуса $R = 3 см$. Расстояние между шайбами $a = 6 см$. На сколько изменится это расстояние, если конус и шайбы нагреть на $\Delta t = 200 К$? Тепловые коэффициенты линейного расширения меди, алюминия и железа равны соответственно $\beta_{1} = 1,7 \cdot 10^{-5} К^{-1}, \beta_{2} = 2,5 \cdot 10^{-5} К^{-1}$ и $\beta_{3} = 10^{-5} К^{-1}$. Конус расположен вертикально, вершиной вверх.
Решение:
Расстояние $h$ от центра алюминиевой шайбы до вершины конуса определяется уравнением $\frac{h + a}{h} = \frac{R}{r}$ (рис.) и равно $h = a \frac{r}{R - r} = 3 см$.
При нагревании алюминиевая шайба расширяется больше, чем участок конуса, с которым она соприкасается ($\beta_{2} > beta_{1}$), поэтому она соскальзывает вниз. Железная шайба "заклинивается" на конусе ($\beta_{3} < \beta_{1}$) и смещается вместе с участком конуса, на котором она держится. При нагревании угол при вершине конуса не изменяется. Новое расстояние $h^{ \prime}$ от центра алюминиевой шайбы до вершины конуса определяется уравнением $\frac{h^{ \prime} }{h} = \frac{r^{ \prime} }{r}$ и равно
$h^{ \prime} = h \frac{r(1 + \beta_{2} \Delta t ) }{r} = h(1 + \beta_{2} \Delta t )$.
новое расстояние от центра железной шайбы до вершины конуса равно
$H^{ \prime} = (h + a)(1 + \beta_{1} \Delta t)$.
Расстояние между шайбами при нагревании увеличилось на
$\Delta a = (H^{ \prime } - h^{ \prime}) - a = a \beta_{1} \Delta t - h ( \beta_{2} - \beta_{1}) \Delta t \approx 0,16 мм$.
