Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12175
2019-12-20 
Два шарика с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ соединены пружинкой жесткости $k$; пружинка расположена горизонтально и не деформирована. Шарикам одновременно сообщаются скорости $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$, как показано на рисунке, причем $| \vec{v}_{1} | = | \vec{v}_{2} |= v$. Найти максимальную высоту подъема системы и наибольшую деформацию пружинки.
Решение:
Центр масс системы (ц. м.) будет двигаться, как тело с массой $M = m_{1} + m_{2}$, брошенное под углом к горизонту с начальным импульсом $\vec{p}_{0}$, равным сумме начальных импульсов шаров:
$\vec{p}_{0} = M \vec{u}_{0} = m_{1} \vec{v}_{1} + m_{2} \vec{v}_{2}$
($\vec{u}_{0}$ - начальная скорость ц.м.). Проекция импульса $\vec{p}_{0}$ на вертикальную ось OY равна $m_{2}v$, следовательно, проекция начальной скорости ц.м. на ось OY равна $u_{y} = \frac{m_{v}v }{M}$. Это означает, что максимальная высота подъема центра масс системы равна
$H = \frac{u_{y}^{2} }{2g} = \frac{v^{2} }{2g} \left ( \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} } \right )^{2}$.
Теперь найдем, наибольшую деформацию пружинки. Очевидно, в тот момент, когда деформация пружинки максимальна, в системе координат, движущейся со скоростью центра масс системы, шарики могут только вращаться вокруг центра масс. Это означает, что энергию системы можно представить как сумму энергии $W_{c}$ системы как целого и внутренней энергии, которая равна сумме потенциальной энергии деформации пружинки $\frac{kx^{2}}{2}$ ($x$ - величина деформации) и кинетической энергии вращения шариков $W_{к} = \frac{1}{2} [m_{1} ( \omega l_{1} )^{2} + m_{2} ( \omega l_{2} )^{2}]$, где $\omega$ - угловая скорость вращения, а $l_{1}$ и $l_{2}$ - расстояния от соответствующих шариков до центра масс.
Обозначим через $l$ длину пружинки. Тогда $l_{1} = \frac{lm_{2} }{M}, l_{2} = \frac{lm_{1}}{M}$, так что
$W_{к} = \frac{1}{2} \omega^{2}l^{2} \left ( \frac{m_{1}m_{2}^{2} }{M^{2} } + \frac{m_{2}m_{1}^{2} }{M^{2} } \right ) = \frac{1}{2} \omega^{2}l^{2} \frac{m_{1}m_{2} }{M}$.
Найдем $\omega$. Из закона сохранения момента импульса следует, что
$m_{1} ( \omega l_{1} ) l_{1} + m_{2} ( \omega l_{2} ) l_{2} = m_{1} \omega_{0} l_{10}^{2} + m_{2} \omega_{0} l_{20}^{2}$,
где $l_{10}$ и $l_{20}$ - начальные расстояния от шариков до центр а масс, $\omega_{0}$ - начальная угловая скорость. Очевидно, если начальная длина пружины равна $l_{0}$, то
$l_{10} = \frac{l_{0}m_{2} }{M}, l_{20} = \frac{l_{0}m_{1} }{M}$.
Поэтому мы можем записать
$\left [ m_{1} \left ( \frac{m_{2} }{M} \right )^{2} + m_{2} \left ( \frac{m_{1} }{M} \right )^{2} \right ] \omega l^{2} = \left [ m_{1} \left ( \frac{m_{2} }{M} \right )^{2} + m_{2} \left ( \frac{m_{1} }{M} \right )^{2} \right ] \omega_{0} l_{0}^{2}$.
Отсюда $\omega = \omega_{0} \left ( \frac{l_{0} }{l} \right )^{2}$. Для того чтобы найти $\omega_{0}$, необходимо найти начальные скорости $\vec{v}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{v}_{2}^{ \prime}$ шариков в системе центра масс. Так как скорость центра масс в начальный момент равна $\vec{u}_{0} = \frac{m_{1} \vec{v}_{1} + m_{2} \vec{v}_{2}}{M}$, скорости шариков в системе центра масс равны соответственно
$\vec{v}_{1}^{ \prime} = \vec{v}_{1} - \vec{u}_{0} = \frac{m_{2} }{M} ( \vec{v}_{1} - \vec{v}_{2} )$,
$\vec{v}_{2}^{ \prime} = \vec{v}_{2} - \vec{u}_{0} = \frac{m_{1} }{M} ( \vec{v}_{2} - \vec{v}_{1} )$.
Угловая скорость $\omega_{0}$ шариков равна, например, проекции скорости $\vec{v}_{0}^{ \prime}$ на ось OY, деленной на $l_{20}$, то есть
$\omega_{0} = \frac{ \frac{vm_{1} }{M} }{l_{20} } = \frac{v}{l_{0} }$.
Таким образом.
$W_{к} = \frac{1}{2} \omega_{0}^{2} l_{0}^{2} \frac{m_{1}m_{2} }{M} = \frac{v^{2} }{2} \frac{m_{1}m_{2} }{M} = \frac{m_{1}m_{2} }{2M} v^{2}$.
Теперь воспользуемся законом сохранения энергии. Полная энергия системы равна
$\frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2} }{2} = \frac{Mv^{2} }{2}$.
Поэтому
$\frac{Mv^{2} }{2} = W_{c} + \frac{kx^{2} }{2} + W_{к}$,
Но, согласно закону сохранения энергии, для системы как целого
$W_{c} = W_{c0} - \frac{Mu_{0}^{2} }{2} = \frac{M}{2} \left ( \frac{m_{1} \vec{v}_{1} + m_{2} \vec{v}_{2} }{M} \right )^{2}$.
Так как векторы $m_{1} \vec{v}_{1}$ и $m_{2} \vec{v}_{2}$ взаимно перпендикулярны.
$( m_{1} \vec{v}_{1} + m_{2} \vec{v}_{2} )^{2} = m_{1}^{2}v_{1}^{2} + m_{2}^{2}v_{2}^{2} - (m_{1}^{2} + m_{2}^{2} )v^{2}$.
Поэтому
$W_{c} = \frac{m_{1}^{2} + m_{2}^{2} }{2M } v^{2}$.
и закон сохранения энергии можно переписать в виде
$\frac{Mv^{2}}{2} = \frac{m_{1}^{2} + m_{2}^{2} }{2M} v^{2} + \frac{kx^{2} }{2} + \frac{m_{1}m_{2}v^{2} }{2M}$.
Отсюда
$x = v \sqrt{ \frac{m_{1}m_{2} }{kM} }$.
Два шарика с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ соединены пружинкой жесткости $k$; пружинка расположена горизонтально и не деформирована. Шарикам одновременно сообщаются скорости $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$, как показано на рисунке, причем $| \vec{v}_{1} | = | \vec{v}_{2} |= v$. Найти максимальную высоту подъема системы и наибольшую деформацию пружинки.
Решение:
Центр масс системы (ц. м.) будет двигаться, как тело с массой $M = m_{1} + m_{2}$, брошенное под углом к горизонту с начальным импульсом $\vec{p}_{0}$, равным сумме начальных импульсов шаров:
$\vec{p}_{0} = M \vec{u}_{0} = m_{1} \vec{v}_{1} + m_{2} \vec{v}_{2}$
($\vec{u}_{0}$ - начальная скорость ц.м.). Проекция импульса $\vec{p}_{0}$ на вертикальную ось OY равна $m_{2}v$, следовательно, проекция начальной скорости ц.м. на ось OY равна $u_{y} = \frac{m_{v}v }{M}$. Это означает, что максимальная высота подъема центра масс системы равна
$H = \frac{u_{y}^{2} }{2g} = \frac{v^{2} }{2g} \left ( \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} } \right )^{2}$.
Теперь найдем, наибольшую деформацию пружинки. Очевидно, в тот момент, когда деформация пружинки максимальна, в системе координат, движущейся со скоростью центра масс системы, шарики могут только вращаться вокруг центра масс. Это означает, что энергию системы можно представить как сумму энергии $W_{c}$ системы как целого и внутренней энергии, которая равна сумме потенциальной энергии деформации пружинки $\frac{kx^{2}}{2}$ ($x$ - величина деформации) и кинетической энергии вращения шариков $W_{к} = \frac{1}{2} [m_{1} ( \omega l_{1} )^{2} + m_{2} ( \omega l_{2} )^{2}]$, где $\omega$ - угловая скорость вращения, а $l_{1}$ и $l_{2}$ - расстояния от соответствующих шариков до центра масс.
Обозначим через $l$ длину пружинки. Тогда $l_{1} = \frac{lm_{2} }{M}, l_{2} = \frac{lm_{1}}{M}$, так что
$W_{к} = \frac{1}{2} \omega^{2}l^{2} \left ( \frac{m_{1}m_{2}^{2} }{M^{2} } + \frac{m_{2}m_{1}^{2} }{M^{2} } \right ) = \frac{1}{2} \omega^{2}l^{2} \frac{m_{1}m_{2} }{M}$.
Найдем $\omega$. Из закона сохранения момента импульса следует, что
$m_{1} ( \omega l_{1} ) l_{1} + m_{2} ( \omega l_{2} ) l_{2} = m_{1} \omega_{0} l_{10}^{2} + m_{2} \omega_{0} l_{20}^{2}$,
где $l_{10}$ и $l_{20}$ - начальные расстояния от шариков до центр а масс, $\omega_{0}$ - начальная угловая скорость. Очевидно, если начальная длина пружины равна $l_{0}$, то
$l_{10} = \frac{l_{0}m_{2} }{M}, l_{20} = \frac{l_{0}m_{1} }{M}$.
Поэтому мы можем записать
$\left [ m_{1} \left ( \frac{m_{2} }{M} \right )^{2} + m_{2} \left ( \frac{m_{1} }{M} \right )^{2} \right ] \omega l^{2} = \left [ m_{1} \left ( \frac{m_{2} }{M} \right )^{2} + m_{2} \left ( \frac{m_{1} }{M} \right )^{2} \right ] \omega_{0} l_{0}^{2}$.
Отсюда $\omega = \omega_{0} \left ( \frac{l_{0} }{l} \right )^{2}$. Для того чтобы найти $\omega_{0}$, необходимо найти начальные скорости $\vec{v}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{v}_{2}^{ \prime}$ шариков в системе центра масс. Так как скорость центра масс в начальный момент равна $\vec{u}_{0} = \frac{m_{1} \vec{v}_{1} + m_{2} \vec{v}_{2}}{M}$, скорости шариков в системе центра масс равны соответственно
$\vec{v}_{1}^{ \prime} = \vec{v}_{1} - \vec{u}_{0} = \frac{m_{2} }{M} ( \vec{v}_{1} - \vec{v}_{2} )$,
$\vec{v}_{2}^{ \prime} = \vec{v}_{2} - \vec{u}_{0} = \frac{m_{1} }{M} ( \vec{v}_{2} - \vec{v}_{1} )$.
Угловая скорость $\omega_{0}$ шариков равна, например, проекции скорости $\vec{v}_{0}^{ \prime}$ на ось OY, деленной на $l_{20}$, то есть
$\omega_{0} = \frac{ \frac{vm_{1} }{M} }{l_{20} } = \frac{v}{l_{0} }$.
Таким образом.
$W_{к} = \frac{1}{2} \omega_{0}^{2} l_{0}^{2} \frac{m_{1}m_{2} }{M} = \frac{v^{2} }{2} \frac{m_{1}m_{2} }{M} = \frac{m_{1}m_{2} }{2M} v^{2}$.
Теперь воспользуемся законом сохранения энергии. Полная энергия системы равна
$\frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2} }{2} = \frac{Mv^{2} }{2}$.
Поэтому
$\frac{Mv^{2} }{2} = W_{c} + \frac{kx^{2} }{2} + W_{к}$,
Но, согласно закону сохранения энергии, для системы как целого
$W_{c} = W_{c0} - \frac{Mu_{0}^{2} }{2} = \frac{M}{2} \left ( \frac{m_{1} \vec{v}_{1} + m_{2} \vec{v}_{2} }{M} \right )^{2}$.
Так как векторы $m_{1} \vec{v}_{1}$ и $m_{2} \vec{v}_{2}$ взаимно перпендикулярны.
$( m_{1} \vec{v}_{1} + m_{2} \vec{v}_{2} )^{2} = m_{1}^{2}v_{1}^{2} + m_{2}^{2}v_{2}^{2} - (m_{1}^{2} + m_{2}^{2} )v^{2}$.
Поэтому
$W_{c} = \frac{m_{1}^{2} + m_{2}^{2} }{2M } v^{2}$.
и закон сохранения энергии можно переписать в виде
$\frac{Mv^{2}}{2} = \frac{m_{1}^{2} + m_{2}^{2} }{2M} v^{2} + \frac{kx^{2} }{2} + \frac{m_{1}m_{2}v^{2} }{2M}$.
Отсюда
$x = v \sqrt{ \frac{m_{1}m_{2} }{kM} }$.
