Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12174
2019-12-20 
Реактивная тележка массы $m$ описывает мертвую петлю по вертикальной круговой дорожке радиуса $R$ с постоянной линейной скоростью $v$. Какая работа совершается силой трения при перемещении тележки из самого нижнего положения в самое верхнее? Коэффициент трения между тележкой и дорожкой равен $\mu$.
Решение:
Рассмотрим два симметричных положения тележки, при которых радиус-векторы точек, в которых находится тележка, составляют с вертикалью один и тот же угол $\alpha$ (рис.). $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$ - силы реакции дорожки в этих положениях, $\vec{F}_{т1}$ и $\vec{F}_{т2}$ - силы тяги, $\vec{F}_{тр1}$ и $\vec{F}_{тр2}$ - силы трения. Так как тележка скользит по дорожке, $F_{тр1} = \mu N_{1}$ и $F_{тр2} = \mu N_{2}$ (здесь $N_{1} = | \vec{N}_{1} |, F_{тр1} = | \vec{F}_{тр1}|$ и т.п.).
Тележка движется по окружности со скоростью $v$; следовательно, сумма проекций всех сил, действующих на тележку, на направление радиуса равна $\frac{mv^{2}}{R}$, то есть (см. рис.)
$N_{1} - mg \cos \alpha = \frac{mv^{2}}{R}, N_{2} + mg \cos \alpha = \frac{mv^{2} }{R}$.
Отсюда
$N_{1} = \frac{mv^{2}}{R} + mg \cos \alpha, N_{2} = \frac{mv^{2}}{R} - mg \cos \alpha$
и
$F_{тр1} = \mu [ \frac{mv^{2} }{R} + mg \cos \alpha]$,
$F_{тр2} = \mu [ \frac{mv^{2} }{R} - mg \cos \alpha]$.
При повороте радиус-вектора на малый угол $\Delta \alpha$, то есть при малом перемещении тележки на $\Delta l = R \Delta \alpha$ силы трения $\vec{F}_{тр1}$ и $\vec{F}_{тр2}$ совершают работы $\Delta A_{1} = F_{тр1} R \Delta \alpha$ и $\Delta A_{2} = F_{тр2} R \Delta \alpha$.
Сумма работ сил $\vec{F}_{тр1}$ и $\vec{F}_{тр2}$ на малых участках $\Delta l$ равна
$\Delta A = ( F_{тр1} + F_{тр2}) R \Delta \alpha = 2 \mu m v^{2} \Delta \alpha$.
Значение $\Delta A$ не зависит от $\alpha$. Это означает, что при повороте радиус-вектора тележки на малый угол $\Delta \alpha$ из любых двух симметричных точек (аналогичных 1 и 2) сила трения совершает одну и ту же работу, пропорциональную $\Delta \alpha$.
Перемещение тележки из нижней точки дорожки в верхнюю соответствует изменению $\alpha$ на $\pi /2$, то есть $\sum \Delta \alpha = \frac{ \pi}{2}$. Следовательно, работа силы трения при таком перемещении равна
$A = \sum \Delta A = 2 \mu mv^{2} \sum \Delta \alpha = \pi \mu mv^{2}$.
Реактивная тележка массы $m$ описывает мертвую петлю по вертикальной круговой дорожке радиуса $R$ с постоянной линейной скоростью $v$. Какая работа совершается силой трения при перемещении тележки из самого нижнего положения в самое верхнее? Коэффициент трения между тележкой и дорожкой равен $\mu$.
Решение:
Рассмотрим два симметричных положения тележки, при которых радиус-векторы точек, в которых находится тележка, составляют с вертикалью один и тот же угол $\alpha$ (рис.). $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$ - силы реакции дорожки в этих положениях, $\vec{F}_{т1}$ и $\vec{F}_{т2}$ - силы тяги, $\vec{F}_{тр1}$ и $\vec{F}_{тр2}$ - силы трения. Так как тележка скользит по дорожке, $F_{тр1} = \mu N_{1}$ и $F_{тр2} = \mu N_{2}$ (здесь $N_{1} = | \vec{N}_{1} |, F_{тр1} = | \vec{F}_{тр1}|$ и т.п.).
Тележка движется по окружности со скоростью $v$; следовательно, сумма проекций всех сил, действующих на тележку, на направление радиуса равна $\frac{mv^{2}}{R}$, то есть (см. рис.)
$N_{1} - mg \cos \alpha = \frac{mv^{2}}{R}, N_{2} + mg \cos \alpha = \frac{mv^{2} }{R}$.
Отсюда
$N_{1} = \frac{mv^{2}}{R} + mg \cos \alpha, N_{2} = \frac{mv^{2}}{R} - mg \cos \alpha$
и
$F_{тр1} = \mu [ \frac{mv^{2} }{R} + mg \cos \alpha]$,
$F_{тр2} = \mu [ \frac{mv^{2} }{R} - mg \cos \alpha]$.
При повороте радиус-вектора на малый угол $\Delta \alpha$, то есть при малом перемещении тележки на $\Delta l = R \Delta \alpha$ силы трения $\vec{F}_{тр1}$ и $\vec{F}_{тр2}$ совершают работы $\Delta A_{1} = F_{тр1} R \Delta \alpha$ и $\Delta A_{2} = F_{тр2} R \Delta \alpha$.
Сумма работ сил $\vec{F}_{тр1}$ и $\vec{F}_{тр2}$ на малых участках $\Delta l$ равна
$\Delta A = ( F_{тр1} + F_{тр2}) R \Delta \alpha = 2 \mu m v^{2} \Delta \alpha$.
Значение $\Delta A$ не зависит от $\alpha$. Это означает, что при повороте радиус-вектора тележки на малый угол $\Delta \alpha$ из любых двух симметричных точек (аналогичных 1 и 2) сила трения совершает одну и ту же работу, пропорциональную $\Delta \alpha$.
Перемещение тележки из нижней точки дорожки в верхнюю соответствует изменению $\alpha$ на $\pi /2$, то есть $\sum \Delta \alpha = \frac{ \pi}{2}$. Следовательно, работа силы трения при таком перемещении равна
$A = \sum \Delta A = 2 \mu mv^{2} \sum \Delta \alpha = \pi \mu mv^{2}$.
