Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12172
2019-12-20 
Два воздушных пузырька радиусов $r_{1} = r_{2} = 3 мм$ в баке с водой сливаются в один. Найти радиус получившегося пузырька сразу же после его образования и через большое время после этого, если теплопроводность воды невелика, а ее теплоемкость очень большая. Считать, что пузырьки находятся вблизи поверхности воды.
Решение:
Так как теплопроводность воды мала, можно считать, что процесс слияния пузырьков происходит адиабатно и, следовательно, изменение $\Delta U$ внутренней энергии системы равно работе $A$ внешних сил давления. Если внешнее давление равно $p_{0}$, а изменение объема пузырьков - $\Delta V$, то $A = p_{0} \Delta V$.
Изменение внутренней энергии системы равно $\Delta U = \sigma \Delta s + \Delta u$. Здесь $\sigma \Delta s$ - изменение поверхностной энергии за счет изменения площади поверхности пузырьков на $\Delta s$ ($\sigma$ - поверхностное натяжение волы); $\Delta u$ - изменение внутренней энергии воздуха.
Внутренняя энергия воздуха в результате слияния пузырьков изменилась на величину
$\Delta u = \frac{5}{2} \frac{m}{ \mu} R \Delta T$,
где $m$ - масса воздуха в пузырьках, $\Delta T$ - изменение температуры воздуха. (Воздух состоит в основном, из двухатомных молекул азота и кислорода, поэтому его можно считать двухатомным газом. Внутренняя энергия одного моля двухатомного газа равна $\frac{5}{2} RT$.)
Давление $p$ воздуха в пузырьках в нашем случае остается практически постоянным. Действительно, давление $p$ отличается от давления в воде на уровне пузырьков на величину $\frac{2 \sigma}{r}$ ($r = r_{1} = r_{2}$) - в первоначальном пузырьке и на величину $\frac{2 \sigma}{ \rho}$ - в новом пузырьке радиуса $\rho ( \rho > r)$. Поскольку слияние происходит у поверхности воды, можно считать, что давление в воде равно атмосферному, то есть равно $p_{0} \approx 10^{5} Н/м^{2}$. Так как $\frac{2 \sigma }{r} = \frac{2 \cdot 7,3 \cdot 10^{-2}}{3 \cdot 10^{-3} } \approx 49 Н/м^{2} \ll p_{0}$, можно считать, что давление в пузырьках остается неизменным и равным $p_{0}$. Поэтому, согласно уравнению газового состояния, $p_{0} \Delta V = \frac{m}{ \mu} R \Delta T$, откуда $\Delta T = p_{0} \Delta V \frac{ \mu}{mR}$. Таким образом.
$A = p_{0} \Delta V = \sigma \Delta s + \frac{5}{2} p_{0} \Delta V$, или $\sigma \Delta s = - \frac{3}{2} p_{0} \Delta V$.
Подставляя в это выражение $\Delta V = \frac{4}{3} \pi ( \rho^{3} - 2r^{3})$ и $\Delta s = 4 \pi ( \rho^{2} - 2r^{2})$, получим:
$p_{0} \rho^{3} + 2 \sigma \rho^{2} - 2 p_{0} r^{3} - 4 \sigma r^{2} = 0$,
или, с учетом численных данных.
$10^{5} \rho^{3} + 14,6 \cdot 10^{-2} \rho^{2} = 5,4 \cdot 10^{-3}$.
Поскольку заведомо $\rho > 3 \cdot 10^{-3} м$, второе слагаемое в левой части равенства мало по сравнению с первым и им можно пренебречь. Поэтому
$\rho \approx \sqrt[3]{5,4 \cdot 10^{-8}} \approx 3,8 \cdot 10^{-3} м$.
то есть $\rho \approx 3,8 мм$.
Два воздушных пузырька радиусов $r_{1} = r_{2} = 3 мм$ в баке с водой сливаются в один. Найти радиус получившегося пузырька сразу же после его образования и через большое время после этого, если теплопроводность воды невелика, а ее теплоемкость очень большая. Считать, что пузырьки находятся вблизи поверхности воды.
Решение:
Так как теплопроводность воды мала, можно считать, что процесс слияния пузырьков происходит адиабатно и, следовательно, изменение $\Delta U$ внутренней энергии системы равно работе $A$ внешних сил давления. Если внешнее давление равно $p_{0}$, а изменение объема пузырьков - $\Delta V$, то $A = p_{0} \Delta V$.
Изменение внутренней энергии системы равно $\Delta U = \sigma \Delta s + \Delta u$. Здесь $\sigma \Delta s$ - изменение поверхностной энергии за счет изменения площади поверхности пузырьков на $\Delta s$ ($\sigma$ - поверхностное натяжение волы); $\Delta u$ - изменение внутренней энергии воздуха.
Внутренняя энергия воздуха в результате слияния пузырьков изменилась на величину
$\Delta u = \frac{5}{2} \frac{m}{ \mu} R \Delta T$,
где $m$ - масса воздуха в пузырьках, $\Delta T$ - изменение температуры воздуха. (Воздух состоит в основном, из двухатомных молекул азота и кислорода, поэтому его можно считать двухатомным газом. Внутренняя энергия одного моля двухатомного газа равна $\frac{5}{2} RT$.)
Давление $p$ воздуха в пузырьках в нашем случае остается практически постоянным. Действительно, давление $p$ отличается от давления в воде на уровне пузырьков на величину $\frac{2 \sigma}{r}$ ($r = r_{1} = r_{2}$) - в первоначальном пузырьке и на величину $\frac{2 \sigma}{ \rho}$ - в новом пузырьке радиуса $\rho ( \rho > r)$. Поскольку слияние происходит у поверхности воды, можно считать, что давление в воде равно атмосферному, то есть равно $p_{0} \approx 10^{5} Н/м^{2}$. Так как $\frac{2 \sigma }{r} = \frac{2 \cdot 7,3 \cdot 10^{-2}}{3 \cdot 10^{-3} } \approx 49 Н/м^{2} \ll p_{0}$, можно считать, что давление в пузырьках остается неизменным и равным $p_{0}$. Поэтому, согласно уравнению газового состояния, $p_{0} \Delta V = \frac{m}{ \mu} R \Delta T$, откуда $\Delta T = p_{0} \Delta V \frac{ \mu}{mR}$. Таким образом.
$A = p_{0} \Delta V = \sigma \Delta s + \frac{5}{2} p_{0} \Delta V$, или $\sigma \Delta s = - \frac{3}{2} p_{0} \Delta V$.
Подставляя в это выражение $\Delta V = \frac{4}{3} \pi ( \rho^{3} - 2r^{3})$ и $\Delta s = 4 \pi ( \rho^{2} - 2r^{2})$, получим:
$p_{0} \rho^{3} + 2 \sigma \rho^{2} - 2 p_{0} r^{3} - 4 \sigma r^{2} = 0$,
или, с учетом численных данных.
$10^{5} \rho^{3} + 14,6 \cdot 10^{-2} \rho^{2} = 5,4 \cdot 10^{-3}$.
Поскольку заведомо $\rho > 3 \cdot 10^{-3} м$, второе слагаемое в левой части равенства мало по сравнению с первым и им можно пренебречь. Поэтому
$\rho \approx \sqrt[3]{5,4 \cdot 10^{-8}} \approx 3,8 \cdot 10^{-3} м$.
то есть $\rho \approx 3,8 мм$.
