Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12166
2019-12-20 
На рисунке показаны два замкнутых термодинамических цикла, проведенных с идеальным одноатомным газом: $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1$ и $1 \rightarrow 5 \rightarrow 6 \rightarrow 4 \rightarrow 1$. У какого из циклов коэффициент полезного действия выше? Во сколько раз?
Решение:
КПД цикла ранен отношению работы $A$, совершенной газом, к количеству теплоты $Q$, сообщенной газу за цикл. Численно работа равна площади, ограниченной графиком цикла. Для первого цикла -
$A_{1} = (2 p_{0} - p_{0})(2V_{0} - V_{0}) = p_{0}V_{0}$.
для второго цикла -
$A_{2} = (4 p_{0} - p_{0})(2V_{0} - V_{0}) 3 p_{0}V_{0}$.
Найдем теперь $Q_{1}$ и $Q_{2}$. В первом случае теплота передастся газу на участках 1-2 и 2-3. При этом газ нагревается, а на участке 2-3 еще и совершает работу $A^{ \prime} = 2p_{0}V_{0}$. Следовательно, $Q_{1} = A^{ \prime} + \Delta U^{ \prime}$, $\Delta U^{ \prime}$ - изменение внутренней энергии газа. Так как температура газа минимальна в точке 1 и максимальна в точке 3, а теплоемкость одного киломоля идеального одноатомного газа равна $\frac{3}{2}R$.
$\Delta U^{ \prime} = \frac{3}{2} R \nu (T_{3} - T_{1} )$.
Здесь $\nu$ - число киломолей газа. $T_{1} = \frac{p_{0}V_{0} }{ \nu R}, T_{3} = \frac{4p_{0}V_{0} }{ \nu R}$. Поэтому $\Delta U^{ \prime} = \frac{9}{2} p_{0}V_{0}$ и $Q_{1} = \frac{13}{2} p_{0}V_{0}$. Аналогично найдем дли второго цикла $A^{ \prime} = 4 p_{0}V_{0}$ (на участке 5—6). $\Delta U^{ \prime \prime} = \frac{3}{2} R \nu (T_{0} - T_{1} ) = \frac{21}{2} p_{0}V_{0}$ и $Q_{2} = \frac{29}{2} p_{0}V_{0}$. Используя полученные данные, находим:
$\eta_{1} = \frac{2}{13}, \eta_{2} = \frac{6}{29}, \frac{ \eta_{1} }{ \eta_{2} } \approx 0,74$.
На рисунке показаны два замкнутых термодинамических цикла, проведенных с идеальным одноатомным газом: $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1$ и $1 \rightarrow 5 \rightarrow 6 \rightarrow 4 \rightarrow 1$. У какого из циклов коэффициент полезного действия выше? Во сколько раз?
Решение:
КПД цикла ранен отношению работы $A$, совершенной газом, к количеству теплоты $Q$, сообщенной газу за цикл. Численно работа равна площади, ограниченной графиком цикла. Для первого цикла -
$A_{1} = (2 p_{0} - p_{0})(2V_{0} - V_{0}) = p_{0}V_{0}$.
для второго цикла -
$A_{2} = (4 p_{0} - p_{0})(2V_{0} - V_{0}) 3 p_{0}V_{0}$.
Найдем теперь $Q_{1}$ и $Q_{2}$. В первом случае теплота передастся газу на участках 1-2 и 2-3. При этом газ нагревается, а на участке 2-3 еще и совершает работу $A^{ \prime} = 2p_{0}V_{0}$. Следовательно, $Q_{1} = A^{ \prime} + \Delta U^{ \prime}$, $\Delta U^{ \prime}$ - изменение внутренней энергии газа. Так как температура газа минимальна в точке 1 и максимальна в точке 3, а теплоемкость одного киломоля идеального одноатомного газа равна $\frac{3}{2}R$.
$\Delta U^{ \prime} = \frac{3}{2} R \nu (T_{3} - T_{1} )$.
Здесь $\nu$ - число киломолей газа. $T_{1} = \frac{p_{0}V_{0} }{ \nu R}, T_{3} = \frac{4p_{0}V_{0} }{ \nu R}$. Поэтому $\Delta U^{ \prime} = \frac{9}{2} p_{0}V_{0}$ и $Q_{1} = \frac{13}{2} p_{0}V_{0}$. Аналогично найдем дли второго цикла $A^{ \prime} = 4 p_{0}V_{0}$ (на участке 5—6). $\Delta U^{ \prime \prime} = \frac{3}{2} R \nu (T_{0} - T_{1} ) = \frac{21}{2} p_{0}V_{0}$ и $Q_{2} = \frac{29}{2} p_{0}V_{0}$. Используя полученные данные, находим:
$\eta_{1} = \frac{2}{13}, \eta_{2} = \frac{6}{29}, \frac{ \eta_{1} }{ \eta_{2} } \approx 0,74$.
