Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12163
2019-12-20 
Жесткая прямоугольная конструкция $AOB$ ($\hat{AOB} = 90^{ \circ}$) вращается вокруг вертикальной оси $OO^{ \prime}$, так что $\hat{AOO^{ \prime}} = \alpha$ (рис.). С помощью колец, которые могут свободно скользить по сторонам $AO$ и $OB$, на конструкцию надет легкий стержень $KE$ длины $2a$. К середине стержня прикреплен небольшой массивный, шарик. При какой углевой скорости вращения конструкции стержень займет горизонтальное положение?
Решение:
Когда стержень $KE$ находится в горизонтальном положении, шарик вращается вокруг оси $OO^{ \prime}$ по окружности радиуса $r = a \sin \left ( \frac{ \pi}{2} -2 \alpha \right ) = a \cos 2 \alpha$ (см. рис.). Центростремительное ускорение $\omega^{2}r$ ($\omega$ - угловая скорость вращения конструкции) шарику сообщает сила $\vec{R}$ реакции стержня (ее горизонтальная проекция). Запишем уравнение движения шарика в проекциях на оси $X$ и $Y$ (рис.):
$R_{x} = m \omega^{2}r = m \omega^{2} a \cos 2 \alpha$, (1)
$R_{y} = mg$
($R_{x}, R_{y}, mg$ - модули проекций векторов $\vec{R}$ и $m \vec{g}$).
Теперь запишем уравнение движения невесомого стержня $KE$ в проекциях на оси $X$ и $Y$ (см. рис.):
$N_{1} \cos \alpha - R_{x}^{ \prime} - N_{2} \sin \alpha = 0$, (2)
$N_{2} \sin \alpha - R_{y}^{ \prime} + N_{2} \cos \alpha = 0$
($\vec{R}^{ \prime} = - \vec{R}$ - действующая на стержень сила реакции шарика: $\vec{N}_{1}, \vec{N}_{2}$ - действующие на стержень силы реакции "плеч" $OA$ и $OB$ конструкции; $R_{x}^{ \prime}, R_{y}^{ \prime}, N_{1} \cos \alpha, N_{2} \sin \alpha$ и т.п. - модули соответствующих проекций; $R_{x}^{ \prime} = R_{x}, R_{y}^{ \prime} = R_{y}$).
Условием того, что стержень занимает горизонтальное положение, является равенство нулю суммы моментов сил, действующих на стержень, относительно горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости конструкции. Запишем уравнение моментов относительно точки С:
$| \vec{N}_{1} | a \sin \alpha - | \vec{N}_{2} | a \cos \alpha = 0$. (3)
Из уравнений (1) - (3) находим:
$\omega = \sqrt{ \frac{g}{a \sin 2 \alpha}}$.
Жесткая прямоугольная конструкция $AOB$ ($\hat{AOB} = 90^{ \circ}$) вращается вокруг вертикальной оси $OO^{ \prime}$, так что $\hat{AOO^{ \prime}} = \alpha$ (рис.). С помощью колец, которые могут свободно скользить по сторонам $AO$ и $OB$, на конструкцию надет легкий стержень $KE$ длины $2a$. К середине стержня прикреплен небольшой массивный, шарик. При какой углевой скорости вращения конструкции стержень займет горизонтальное положение?
Решение:
Когда стержень $KE$ находится в горизонтальном положении, шарик вращается вокруг оси $OO^{ \prime}$ по окружности радиуса $r = a \sin \left ( \frac{ \pi}{2} -2 \alpha \right ) = a \cos 2 \alpha$ (см. рис.). Центростремительное ускорение $\omega^{2}r$ ($\omega$ - угловая скорость вращения конструкции) шарику сообщает сила $\vec{R}$ реакции стержня (ее горизонтальная проекция). Запишем уравнение движения шарика в проекциях на оси $X$ и $Y$ (рис.):
$R_{x} = m \omega^{2}r = m \omega^{2} a \cos 2 \alpha$, (1)
$R_{y} = mg$
($R_{x}, R_{y}, mg$ - модули проекций векторов $\vec{R}$ и $m \vec{g}$).
Теперь запишем уравнение движения невесомого стержня $KE$ в проекциях на оси $X$ и $Y$ (см. рис.):
$N_{1} \cos \alpha - R_{x}^{ \prime} - N_{2} \sin \alpha = 0$, (2)
$N_{2} \sin \alpha - R_{y}^{ \prime} + N_{2} \cos \alpha = 0$
($\vec{R}^{ \prime} = - \vec{R}$ - действующая на стержень сила реакции шарика: $\vec{N}_{1}, \vec{N}_{2}$ - действующие на стержень силы реакции "плеч" $OA$ и $OB$ конструкции; $R_{x}^{ \prime}, R_{y}^{ \prime}, N_{1} \cos \alpha, N_{2} \sin \alpha$ и т.п. - модули соответствующих проекций; $R_{x}^{ \prime} = R_{x}, R_{y}^{ \prime} = R_{y}$).
Условием того, что стержень занимает горизонтальное положение, является равенство нулю суммы моментов сил, действующих на стержень, относительно горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости конструкции. Запишем уравнение моментов относительно точки С:
$| \vec{N}_{1} | a \sin \alpha - | \vec{N}_{2} | a \cos \alpha = 0$. (3)
Из уравнений (1) - (3) находим:
$\omega = \sqrt{ \frac{g}{a \sin 2 \alpha}}$.
