Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12162
2019-12-20 
Потенциальная энергия взаимодействия двух одинаковых заряженных маленьких шариков с зарядами $q_{1}$ и $q_{2}$ равна $W_{1} = \frac{q_{1}q_{2} }{4 \pi \epsilon_{0} l }$, где $l$ - расстояние между центрами шариков. Если шарики соединить проволокой, заряды шариков станут одинаковыми, и потенциальная энергия взаимодействия шариков станет равной $W_{2} = \frac{(q_{1} + q_{2} )^{2} }{16 \pi \epsilon_{0}l }$. Так как $(q_{1} + q_{2})^{2} > 4q_{1}q_{2}$ (при $q_{1} \neq q_{2}$), то $W_{2} > W_{1}$, то есть потенциальная энергия взаимодействия зарядов возрастает! Откуда берется дополнительная энергия?
Решение:
Рассуждения, приведенные в условии задачи, не верны: в них учтена только потенциальная энергия взаимодействия шариков и не учтена энергия электростатического поля отдельных зарядов.
Энергия электростатического поля отдельного (изолированного) шарика с зарядом $q$ равна работе, которая совершается при зарядке шарика. Ее можно рассматривать как энергию сферического конденсатора, внешняя обкладка которого находится бесконечно далеко от внутренней (от шарика). Эту энергию можно вычислить по формуле $W= \frac{1}{2} qU$, где $q$ - заряд конденсатора (заряд шарика), $U$ - разность потенциалов его пластин. В нашем случае $U$ равно потенциалу $\phi$ шарика по отношению к бесконечности (где потенциал принят равным нулю):
$U = \phi = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q}{r}$, где $r$ - радиус шарика.
Таким образом, $W = \frac{1}{q \phi} = \frac{q^{2}}{8 \pi \epsilon_{0}r}$. Энергия системы до соединения шариков проволокой равна
$W_{1} = \frac{q_{1}^{2} }{8 \pi \epsilon_{0}r } + \frac{q_{2}^{2} }{8 \pi \epsilon_{0}r } + \frac{q_{1}q_{2} }{4 \pi \epsilon_{0}l }$,
а после соединения -
$W_{2} = 2 \frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0}r } + \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}l } = \frac{(q_{1} + q_{2} )^{2} }{16 \pi \epsilon_{0} r} + \frac{(q_{1} + q_{2} )^{2} }{16 \pi \epsilon_{0}l }$,
где $q = \frac{q_{1} + q_{2}}{2}$. Так что
$W_{1} - W_{2} = \frac{(q_{1} - q_{2} )^{2} }{16 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{1}{r} - \frac{1}{l} \right ) > 0$.
то есть $W_{1} > W_{2}$. Это и естественно, так как при соединении шариков проволокой часть энергии выделилась в виде джоулева тепла.
Потенциальная энергия взаимодействия двух одинаковых заряженных маленьких шариков с зарядами $q_{1}$ и $q_{2}$ равна $W_{1} = \frac{q_{1}q_{2} }{4 \pi \epsilon_{0} l }$, где $l$ - расстояние между центрами шариков. Если шарики соединить проволокой, заряды шариков станут одинаковыми, и потенциальная энергия взаимодействия шариков станет равной $W_{2} = \frac{(q_{1} + q_{2} )^{2} }{16 \pi \epsilon_{0}l }$. Так как $(q_{1} + q_{2})^{2} > 4q_{1}q_{2}$ (при $q_{1} \neq q_{2}$), то $W_{2} > W_{1}$, то есть потенциальная энергия взаимодействия зарядов возрастает! Откуда берется дополнительная энергия?
Решение:
Рассуждения, приведенные в условии задачи, не верны: в них учтена только потенциальная энергия взаимодействия шариков и не учтена энергия электростатического поля отдельных зарядов.
Энергия электростатического поля отдельного (изолированного) шарика с зарядом $q$ равна работе, которая совершается при зарядке шарика. Ее можно рассматривать как энергию сферического конденсатора, внешняя обкладка которого находится бесконечно далеко от внутренней (от шарика). Эту энергию можно вычислить по формуле $W= \frac{1}{2} qU$, где $q$ - заряд конденсатора (заряд шарика), $U$ - разность потенциалов его пластин. В нашем случае $U$ равно потенциалу $\phi$ шарика по отношению к бесконечности (где потенциал принят равным нулю):
$U = \phi = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{q}{r}$, где $r$ - радиус шарика.
Таким образом, $W = \frac{1}{q \phi} = \frac{q^{2}}{8 \pi \epsilon_{0}r}$. Энергия системы до соединения шариков проволокой равна
$W_{1} = \frac{q_{1}^{2} }{8 \pi \epsilon_{0}r } + \frac{q_{2}^{2} }{8 \pi \epsilon_{0}r } + \frac{q_{1}q_{2} }{4 \pi \epsilon_{0}l }$,
а после соединения -
$W_{2} = 2 \frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0}r } + \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}l } = \frac{(q_{1} + q_{2} )^{2} }{16 \pi \epsilon_{0} r} + \frac{(q_{1} + q_{2} )^{2} }{16 \pi \epsilon_{0}l }$,
где $q = \frac{q_{1} + q_{2}}{2}$. Так что
$W_{1} - W_{2} = \frac{(q_{1} - q_{2} )^{2} }{16 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{1}{r} - \frac{1}{l} \right ) > 0$.
то есть $W_{1} > W_{2}$. Это и естественно, так как при соединении шариков проволокой часть энергии выделилась в виде джоулева тепла.
