Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12160
2019-12-20 
Маятник представляет собой легкий стержень длины $l$ с грузом массой $M$ на конце. К другому концу стержня прикреплена легкая цилиндрическая втулка, а с внутренним радиусом $r$, надетая на вращающуюся горизонтальную ось $b$ (рис.). Коэффициент трения между втулкой и осью равен $\mu$. Определить угол отклонения стержня от вертикали в положении равновесия.
Решение:
Очевидно, что груз $M$ при вращении оси $b$ против часовой стрелки смещен вправо от вертикали $O^{ \prime} O$ проходящей через центр оси. При этом точка $A$ (рис.), в которой втулка маятника соприкасается с осью, смещена от верхней точки оси в сторону противоположную направлению вращения оси. Покажем это
При равновесии маятника сумма моментов всех действующих на него сил равна нулю. На маятник действуют сила тяжести $\vec{P} = M \vec{g}$, приложенная к грузу $M$, сила
нормальной реакции оси $\vec{N}$ и сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$, приложенные к втулке в точке $A$. Моменты сил $\vec{N}$ и $\vec{F}_{тр}$ относительно точки $A$ равны нулю. Следовательно, и момент силы $\vec{P}$ относительно этой точки должен быть равен нулю. Это означает, что точка $A$ должна лежать на линии действия силы $\vec{P}$, то есть должна быть смешена вправо от верхней точки оси.
Отметим что даже при сколь угодно большом коэффициенте трения $\mu$ груз $M$ при равновесии маятника не может быть отклонен от вертикали $O^{ \prime}O$ на расстояние, большее радиуса $r$ втулки $a$. Это видно из рисунка.
Найдем угол $\alpha$, определяющий положение точки $A$. Так как при равновесии маятника векторная сумма сил $\vec{F}_{тр}$ и $\vec{N}$ направлена вертикально вверх (сумма сил $\vec{F}_{тр}, \vec{N}$ и $\vec{P}$ должна быть равна нулю), то
$tg \alpha = \frac{F_{тр} }{N} = \frac{ \mu N}{N} = \mu$
($F_{тр}, N$ - модули сил $\vec{F}_{тр}$ и $\vec{N}$)
Найдем теперь угол $\phi$, который составляет стержень маятника с вертикалью $O^{ \prime} O$ в положении равновесия. Как видно из рисунка
$\sin \phi = \frac{|OB|}{r + l} = \frac{r \sin \alpha}{r + l}$. (1)
Учитывая что
$\sin \alpha = \frac{tg \alpha}{ \sqrt{1 + tg^{2} \alpha } } = \frac{ \mu}{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }$,
находим (см. (1))
$\sin \phi = \frac{r}{r + l} \frac{ \mu}{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }$. (2)
Обратите внимание, что величина угла отклонения маятника определяется только значением коэффициента трения и размерами стержня и втулки и не зависит от массы груза $M$ и скорости вращения оси.
В предельном случае $\mu = 0$ формула (2) дает $\phi = 0$ то есть при отсутствии трения маятник в равновесии занимает вертикальное положение. С ростом силы трения, то есть при $\mu \rightarrow \infty$, множитель $\frac{ \mu}{ \sqrt{1 + \mu^{2}}}$ стремится к единице и $\sin \phi \rightarrow \frac{r}{r + l}$. Это значит, что величина отклонения груза $M$ вправо от вертикали $O^{ \prime}O$ (то есть длина отрезка $OB$ на рисунке) стремится к $r$ (см. (1)).
Замечательно, что такой маятник, если его вывести из равновесия, будет совершать незатухающие колебания. При достаточно быстром вращении оси действующая на втулку сила трения скольжения при любом направлении движения маятника направлена в сторону вращения оси и приводит лишь к смешению среднего положения на угол $\phi$ от вертикали.
Отметим, что существует еще одно положение равновесия маятника на вращающейся оси - положение, в котором груз $M$ расположен выше оси, а стержень отклонен от вертикали вправо на такой же угол $\phi$. Но это положение равновесия, как легко убедиться, является неустойчивым.
Если ось, на которую надета втулка маятника, закреплена неподвижно (не вращается), то, благодаря силе трения покоя, величина которой может принимать любые значения от нуля до $\mu N$, маятник может находиться в равновесии в любом отклоненном от вертикали положении в пределах сектора с углом $\phi$, определяемым той же формулой (2). Это так называемая область застоя (рис.). Если отклонить маятник на угол больше предельного (больше $\phi$) и отпустить, то, совершив несколько колебаний с убывающей амплитудой, маятник остановится где-то внутри области застоя. Остановка маятника может произойти в любой точке области застоя в зависимости от начальных условий. Интересно отметить, что такой же сектор положений равновесия существует и для "перевернутого" маятника на закрепленной оси.
Маятник представляет собой легкий стержень длины $l$ с грузом массой $M$ на конце. К другому концу стержня прикреплена легкая цилиндрическая втулка, а с внутренним радиусом $r$, надетая на вращающуюся горизонтальную ось $b$ (рис.). Коэффициент трения между втулкой и осью равен $\mu$. Определить угол отклонения стержня от вертикали в положении равновесия.
Решение:
Очевидно, что груз $M$ при вращении оси $b$ против часовой стрелки смещен вправо от вертикали $O^{ \prime} O$ проходящей через центр оси. При этом точка $A$ (рис.), в которой втулка маятника соприкасается с осью, смещена от верхней точки оси в сторону противоположную направлению вращения оси. Покажем это
При равновесии маятника сумма моментов всех действующих на него сил равна нулю. На маятник действуют сила тяжести $\vec{P} = M \vec{g}$, приложенная к грузу $M$, сила
нормальной реакции оси $\vec{N}$ и сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$, приложенные к втулке в точке $A$. Моменты сил $\vec{N}$ и $\vec{F}_{тр}$ относительно точки $A$ равны нулю. Следовательно, и момент силы $\vec{P}$ относительно этой точки должен быть равен нулю. Это означает, что точка $A$ должна лежать на линии действия силы $\vec{P}$, то есть должна быть смешена вправо от верхней точки оси.
Отметим что даже при сколь угодно большом коэффициенте трения $\mu$ груз $M$ при равновесии маятника не может быть отклонен от вертикали $O^{ \prime}O$ на расстояние, большее радиуса $r$ втулки $a$. Это видно из рисунка.
Найдем угол $\alpha$, определяющий положение точки $A$. Так как при равновесии маятника векторная сумма сил $\vec{F}_{тр}$ и $\vec{N}$ направлена вертикально вверх (сумма сил $\vec{F}_{тр}, \vec{N}$ и $\vec{P}$ должна быть равна нулю), то
$tg \alpha = \frac{F_{тр} }{N} = \frac{ \mu N}{N} = \mu$
($F_{тр}, N$ - модули сил $\vec{F}_{тр}$ и $\vec{N}$)
Найдем теперь угол $\phi$, который составляет стержень маятника с вертикалью $O^{ \prime} O$ в положении равновесия. Как видно из рисунка
$\sin \phi = \frac{|OB|}{r + l} = \frac{r \sin \alpha}{r + l}$. (1)
Учитывая что
$\sin \alpha = \frac{tg \alpha}{ \sqrt{1 + tg^{2} \alpha } } = \frac{ \mu}{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }$,
находим (см. (1))
$\sin \phi = \frac{r}{r + l} \frac{ \mu}{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }$. (2)
Обратите внимание, что величина угла отклонения маятника определяется только значением коэффициента трения и размерами стержня и втулки и не зависит от массы груза $M$ и скорости вращения оси.
В предельном случае $\mu = 0$ формула (2) дает $\phi = 0$ то есть при отсутствии трения маятник в равновесии занимает вертикальное положение. С ростом силы трения, то есть при $\mu \rightarrow \infty$, множитель $\frac{ \mu}{ \sqrt{1 + \mu^{2}}}$ стремится к единице и $\sin \phi \rightarrow \frac{r}{r + l}$. Это значит, что величина отклонения груза $M$ вправо от вертикали $O^{ \prime}O$ (то есть длина отрезка $OB$ на рисунке) стремится к $r$ (см. (1)).
Замечательно, что такой маятник, если его вывести из равновесия, будет совершать незатухающие колебания. При достаточно быстром вращении оси действующая на втулку сила трения скольжения при любом направлении движения маятника направлена в сторону вращения оси и приводит лишь к смешению среднего положения на угол $\phi$ от вертикали.
Отметим, что существует еще одно положение равновесия маятника на вращающейся оси - положение, в котором груз $M$ расположен выше оси, а стержень отклонен от вертикали вправо на такой же угол $\phi$. Но это положение равновесия, как легко убедиться, является неустойчивым.
Если ось, на которую надета втулка маятника, закреплена неподвижно (не вращается), то, благодаря силе трения покоя, величина которой может принимать любые значения от нуля до $\mu N$, маятник может находиться в равновесии в любом отклоненном от вертикали положении в пределах сектора с углом $\phi$, определяемым той же формулой (2). Это так называемая область застоя (рис.). Если отклонить маятник на угол больше предельного (больше $\phi$) и отпустить, то, совершив несколько колебаний с убывающей амплитудой, маятник остановится где-то внутри области застоя. Остановка маятника может произойти в любой точке области застоя в зависимости от начальных условий. Интересно отметить, что такой же сектор положений равновесия существует и для "перевернутого" маятника на закрепленной оси.
