Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12158
2019-12-20 
В схеме, приведенной на рисунке, $\mathcal{E} > \mathcal{E}_{1}$. Определить заряд, который протечет через батарею с ЭДС $\mathcal{E}_{0}$ при замыкании ключа К, полагая, что внутренние сопротивления батарей и сопротивление катушки равны нулю. Диод считать идеальным (его прямое сопротивление равно нулю, обратное - бесконечности); конденсатор до замыкания ключа был не заряжен.
Решение:
Будем считать, что диод начинает проводить ток. когда потенциал на аноде будет больше, чем на катоде. При этом сопротивление диода будет равно нулю и падение напряжения на нем будет также равно нулю.
Рассмотрим процесс, происходящий в цепи после замыкания ключа К, по этапам.
1. Ток, текущий через индуктивность $L$, заряжает конденсатор. При некотором значении тока $I_{1}$ конденсатор заряжается до напряжения $\mathcal{E}_{1}$. Заряд конденсатора $q_{1} = C \mathcal{E}_{1}$, энергия конденсатора $W_{1} = \frac{C \mathcal{E}_{1}^{2} }{2}$, энергия магнитного поля индуктивности $\frac{LI_{1}^{2}}{2}$. Работа, совершенная к этому времени батареей, равна $A = q_{1} \mathcal{E}$.
2. Хотя напряжения на батарее $\mathcal{E}_{1}$ и на конденсаторе одинаковы, конденсатор продолжает заряжаться - за счет энергии магнитного поля индуктивности. При некотором значении тока $I_{0}$ конденсатор заряжается до напряжения $\mathcal{E}_{0}$. Заряд конденсатора $q_{0} = C \mathcal{E}_{0}$, энергия конденсатора $W_{0} = \frac{C \mathcal{E}_{0}^{2} }{2}$, энергия магнитного поля индуктивности $\frac{LI_{0}^{2}}{2}$.
Работа, совершенная батареей $\mathcal{E}_{1}$ за время этапов 1 и 2, равна $A_{1} = q_{0} \mathcal{E}_{1} = C \mathcal{E}_{0} \mathcal{E}_{1}$.
3. С того момента, когда напряжение на конденсаторе становится равным $\mathcal{E}_{0}$, ток начинает течь через диод в батарею $\mathcal{E}_{0}$. Напряжение на конденсаторе с этого момента не меняется, энергия его остается равной $W_{0} = \frac{C \mathcal{E}_{0}^{2}}{2}$. Следовательно, энергия $\frac{LI_{0}^{2}}{2}$, имеющаяся в магнитном поле индуктивности, начинает уменьшаться - она идет на совершение работы по перемещению заряда через батарею $\mathcal{E}_{0}$.
4. Энергия магнитного ноля индуктивности становится равной нулю. Энергия конденсатора по-прежнему равна $W_{0} = \\frac{C \mathcal{E}_{0}^{2}}{2}$. Через батарею $\mathcal{E}_{0}$ прошел некоторый заряд $Q$. Энергия батареи $\mathcal{E}_{0}$ увеличилась на $\Delta W = Q \mathcal{E}_{0}$.
За время этапов 3 и 4 батарея $\mathcal{E}_{1}$ совершила работу $A_{2} = Q \mathcal{E}_{1}$.
Итак, за время всего процесса батарея $\mathcal{E}_{1}$ совершила работу
$A_{ \mathcal{E}_{1} } = A_{1} + A_{2} = C \mathcal{E}_{0} \mathcal{E}_{1} + Q \mathcal{E}_{1}$.
Эта работа пошла на сообщение энергии $W_{0} = \frac{C \mathcal{E}_{0}^{2} }{2}$ конденсатору $C$ и на увеличение энергии батареи $\mathcal{E}_{0}$ на $\Delta W = Q \mathcal{E}_{0}$. Согласно закону сохранения энергии
$A_{ \mathcal{E}_{1} } = W_{0} + \Delta W$,
то есть
$C \mathcal{E}_{0} \mathcal{E}_{1} + Q \mathcal{E}_{1} = \frac{C \mathcal{E}_{0}^{2} }{2} + Q \mathcal{E}_{0}$,
Отсюда находим заряд $Q$, протекший через батарею $\mathcal{E}_{0}$:
$Q = \frac{C \mathcal{E}_{0} (2 \mathcal{E}_{1} - \mathcal{E}_{0})}{2( \mathcal{E}_{0} - \mathcal{E}_{1} )}$.
Примечание. Из полученного результата видно, что через батарею $\mathcal{E}_{0}$ заряд потечет только в том случае, если $\mathcal{E}_{1} < \mathcal{E}_{0} < 2 \mathcal{E}_{1}$. Если $\mathcal{E}_{0} > 2 \mathcal{E}_{1}$, то конденсатор никогда ие зарядится до напряжения $\mathcal{E}_{0}$. Иными словами, максимальное напряжение, до которого можно зарядить конденсатор в схеме, приведенной на рисунке, равно $2 \mathcal{E}$. Покажем это.
Пусть при некотором токе 1 напряжение на конденсаторе равно $U$, его заряд $q = CU$. Из закона сохранения энергии $q \mathcal{E} = CU \mathcal{E} = \frac{LI^{2} }{2} + \frac{CU^{2} }{2}$ находим
$\frac{LI^{2}}{2} = \frac{CU}{2} (2 \mathcal{E} - U )$.
Процесс зарядки конденсатора прекратится, когда ток в цепи станет равным нулю При этом, как видно, $U = U_{max} = 2 \mathcal{E}$.
В схеме, приведенной на рисунке, $\mathcal{E} > \mathcal{E}_{1}$. Определить заряд, который протечет через батарею с ЭДС $\mathcal{E}_{0}$ при замыкании ключа К, полагая, что внутренние сопротивления батарей и сопротивление катушки равны нулю. Диод считать идеальным (его прямое сопротивление равно нулю, обратное - бесконечности); конденсатор до замыкания ключа был не заряжен.
Решение:
Будем считать, что диод начинает проводить ток. когда потенциал на аноде будет больше, чем на катоде. При этом сопротивление диода будет равно нулю и падение напряжения на нем будет также равно нулю.
Рассмотрим процесс, происходящий в цепи после замыкания ключа К, по этапам.
1. Ток, текущий через индуктивность $L$, заряжает конденсатор. При некотором значении тока $I_{1}$ конденсатор заряжается до напряжения $\mathcal{E}_{1}$. Заряд конденсатора $q_{1} = C \mathcal{E}_{1}$, энергия конденсатора $W_{1} = \frac{C \mathcal{E}_{1}^{2} }{2}$, энергия магнитного поля индуктивности $\frac{LI_{1}^{2}}{2}$. Работа, совершенная к этому времени батареей, равна $A = q_{1} \mathcal{E}$.
2. Хотя напряжения на батарее $\mathcal{E}_{1}$ и на конденсаторе одинаковы, конденсатор продолжает заряжаться - за счет энергии магнитного поля индуктивности. При некотором значении тока $I_{0}$ конденсатор заряжается до напряжения $\mathcal{E}_{0}$. Заряд конденсатора $q_{0} = C \mathcal{E}_{0}$, энергия конденсатора $W_{0} = \frac{C \mathcal{E}_{0}^{2} }{2}$, энергия магнитного поля индуктивности $\frac{LI_{0}^{2}}{2}$.
Работа, совершенная батареей $\mathcal{E}_{1}$ за время этапов 1 и 2, равна $A_{1} = q_{0} \mathcal{E}_{1} = C \mathcal{E}_{0} \mathcal{E}_{1}$.
3. С того момента, когда напряжение на конденсаторе становится равным $\mathcal{E}_{0}$, ток начинает течь через диод в батарею $\mathcal{E}_{0}$. Напряжение на конденсаторе с этого момента не меняется, энергия его остается равной $W_{0} = \frac{C \mathcal{E}_{0}^{2}}{2}$. Следовательно, энергия $\frac{LI_{0}^{2}}{2}$, имеющаяся в магнитном поле индуктивности, начинает уменьшаться - она идет на совершение работы по перемещению заряда через батарею $\mathcal{E}_{0}$.
4. Энергия магнитного ноля индуктивности становится равной нулю. Энергия конденсатора по-прежнему равна $W_{0} = \\frac{C \mathcal{E}_{0}^{2}}{2}$. Через батарею $\mathcal{E}_{0}$ прошел некоторый заряд $Q$. Энергия батареи $\mathcal{E}_{0}$ увеличилась на $\Delta W = Q \mathcal{E}_{0}$.
За время этапов 3 и 4 батарея $\mathcal{E}_{1}$ совершила работу $A_{2} = Q \mathcal{E}_{1}$.
Итак, за время всего процесса батарея $\mathcal{E}_{1}$ совершила работу
$A_{ \mathcal{E}_{1} } = A_{1} + A_{2} = C \mathcal{E}_{0} \mathcal{E}_{1} + Q \mathcal{E}_{1}$.
Эта работа пошла на сообщение энергии $W_{0} = \frac{C \mathcal{E}_{0}^{2} }{2}$ конденсатору $C$ и на увеличение энергии батареи $\mathcal{E}_{0}$ на $\Delta W = Q \mathcal{E}_{0}$. Согласно закону сохранения энергии
$A_{ \mathcal{E}_{1} } = W_{0} + \Delta W$,
то есть
$C \mathcal{E}_{0} \mathcal{E}_{1} + Q \mathcal{E}_{1} = \frac{C \mathcal{E}_{0}^{2} }{2} + Q \mathcal{E}_{0}$,
Отсюда находим заряд $Q$, протекший через батарею $\mathcal{E}_{0}$:
$Q = \frac{C \mathcal{E}_{0} (2 \mathcal{E}_{1} - \mathcal{E}_{0})}{2( \mathcal{E}_{0} - \mathcal{E}_{1} )}$.
Примечание. Из полученного результата видно, что через батарею $\mathcal{E}_{0}$ заряд потечет только в том случае, если $\mathcal{E}_{1} < \mathcal{E}_{0} < 2 \mathcal{E}_{1}$. Если $\mathcal{E}_{0} > 2 \mathcal{E}_{1}$, то конденсатор никогда ие зарядится до напряжения $\mathcal{E}_{0}$. Иными словами, максимальное напряжение, до которого можно зарядить конденсатор в схеме, приведенной на рисунке, равно $2 \mathcal{E}$. Покажем это.
Пусть при некотором токе 1 напряжение на конденсаторе равно $U$, его заряд $q = CU$. Из закона сохранения энергии $q \mathcal{E} = CU \mathcal{E} = \frac{LI^{2} }{2} + \frac{CU^{2} }{2}$ находим
$\frac{LI^{2}}{2} = \frac{CU}{2} (2 \mathcal{E} - U )$.
Процесс зарядки конденсатора прекратится, когда ток в цепи станет равным нулю При этом, как видно, $U = U_{max} = 2 \mathcal{E}$.
