Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12155
2019-12-20 
В схеме, показанной на рисунке, ЭДС батареи $\mathcal{E} = 100 В$, ее внутреннее сопротивление $r = 100 Ом$, емкость конденсатора $C = 200 мкФ$ и сопротивление нагревателя $R = 10 Ом$. Ключ К переключается между контактами а и б с частотой $f = 10$ раз в секунду. При подключении его к клемме, а конденсатор успевает полностью зарядиться, а при подключении к клемме б - полностью разрядиться. Чему равен коэффициент полезного действия схемы? Во сколько раз он выше, чем при непосредственном подключении нагревателя к батарее? Какая мощность выделяется на сопротивлении $R$?
Решение:
При подключении конденсатора к батарее он заряжается до напряжения $U = \mathcal{E}$, получая заряд $q = CU = C \mathcal{E}$. Энергия конденсатора становится равной при этом $W = \frac{1}{2} C \mathcal{E}^{2}$. Батарея же совершает работу $A = \mathcal{E} q = C \mathcal{E}^{2}$. Следовательно, количество тепла $Q$, выделяющееся при этом в цепи, равно $A - W = \frac{1}{2} C \mathcal{E}^{2}$. Батарея соединена с нагревателем последовательно, и в любой момент времени по ним течет один и тот же ток. Следовательно, тепло распределяется между ними пропорционально их сопротивлениям, то есть на нагревателе $R$ выделяется тепло
$Q_{1} = (A - W) \frac{R}{R + r} = \frac{C \mathcal{E}^{2} }{2} \frac{R}{R + r}$,
При замыкании конденсатора на нагреватель (ключ К в положении б) конденсатор полностью разряжается и его энергия $W$ переходит в тепло, выделяющееся на нагревателе:
$Q_{2} = W = \frac{C \mathcal{E}^{2} }{2}$.
Итак, за одни полный цикл на нагревателе $R$ выделяется тепло
$Q = Q_{1} + Q_{2} = \frac{C \mathcal{E}^{2} }{2} \frac{R}{R + r} + \frac{C \mathcal{E}^{2} }{2} = \frac{C \mathcal{E}^{2} }{2} \left ( \frac{2R + r}{R + r} \right )$.
КПД цепи равен
$\eta_{1} = \frac{Q}{A} = \frac{ \frac{C \mathcal{E}^{2} }{2} \frac{2R + r}{R+r} }{C \mathcal{E}^{2} } = \frac{2R + r}{2(R + r)} = \frac{6}{11}$.
При непосредственном подключении нагревателя к батарее КПД иепн равен
$\eta_{2} = \frac{R}{R + r} = \frac{1}{11}$.
Таким образом, $\eta_{1}/ \eta_{2} = 6$.
Найдем мощность $P$, выделяющуюся на нагревателе. За 1 секунду происходит $n = f/2$ полных циклов переключения ключа К. Следовательно,
$P = nQ = \frac{f}{2} \frac{C \mathcal{E}^{2} }{2} \left ( \frac{2R + r}{R + r} \right ) \approx 5,5 Вт$.
Примечание. В условии задачи предлагается считать, что конденсатор успевает полностью перезарядиться за время $t = 1/f = 0,1$ секунды. Проверим, насколько справедливо это предположение.
Когда конденсатор подключается к батарее, появляющийся ток равен $I = \frac{ \mathcal{E} }{(R + r)}$. За время $\tau$, за которое конденсатор заряжается до напряжения $U = \mathcal{E}$, через батарею проходит полный заряд $q = C \mathcal{E}$. Следовательно, при токе $I = \frac{ \mathcal{E}}{R + r}$ конденсатор заряжается за время $\tau = \frac{q}{I} = \frac{C \mathcal{E}(R + r) }{ \mathcal{E}} = C(R + r) = 2,2 \cdot 10^{-2} с$. В действительности же по мере увеличения напряжения на конденсаторе ток будет уменьшаться, и конденсатор до напряжения $U = \mathcal{E}$ не зарядится никогда. Однако, поскольку приближенно можно считать, что конденсатор успевает полностью зарядиться.
В схеме, показанной на рисунке, ЭДС батареи $\mathcal{E} = 100 В$, ее внутреннее сопротивление $r = 100 Ом$, емкость конденсатора $C = 200 мкФ$ и сопротивление нагревателя $R = 10 Ом$. Ключ К переключается между контактами а и б с частотой $f = 10$ раз в секунду. При подключении его к клемме, а конденсатор успевает полностью зарядиться, а при подключении к клемме б - полностью разрядиться. Чему равен коэффициент полезного действия схемы? Во сколько раз он выше, чем при непосредственном подключении нагревателя к батарее? Какая мощность выделяется на сопротивлении $R$?
Решение:
При подключении конденсатора к батарее он заряжается до напряжения $U = \mathcal{E}$, получая заряд $q = CU = C \mathcal{E}$. Энергия конденсатора становится равной при этом $W = \frac{1}{2} C \mathcal{E}^{2}$. Батарея же совершает работу $A = \mathcal{E} q = C \mathcal{E}^{2}$. Следовательно, количество тепла $Q$, выделяющееся при этом в цепи, равно $A - W = \frac{1}{2} C \mathcal{E}^{2}$. Батарея соединена с нагревателем последовательно, и в любой момент времени по ним течет один и тот же ток. Следовательно, тепло распределяется между ними пропорционально их сопротивлениям, то есть на нагревателе $R$ выделяется тепло
$Q_{1} = (A - W) \frac{R}{R + r} = \frac{C \mathcal{E}^{2} }{2} \frac{R}{R + r}$,
При замыкании конденсатора на нагреватель (ключ К в положении б) конденсатор полностью разряжается и его энергия $W$ переходит в тепло, выделяющееся на нагревателе:
$Q_{2} = W = \frac{C \mathcal{E}^{2} }{2}$.
Итак, за одни полный цикл на нагревателе $R$ выделяется тепло
$Q = Q_{1} + Q_{2} = \frac{C \mathcal{E}^{2} }{2} \frac{R}{R + r} + \frac{C \mathcal{E}^{2} }{2} = \frac{C \mathcal{E}^{2} }{2} \left ( \frac{2R + r}{R + r} \right )$.
КПД цепи равен
$\eta_{1} = \frac{Q}{A} = \frac{ \frac{C \mathcal{E}^{2} }{2} \frac{2R + r}{R+r} }{C \mathcal{E}^{2} } = \frac{2R + r}{2(R + r)} = \frac{6}{11}$.
При непосредственном подключении нагревателя к батарее КПД иепн равен
$\eta_{2} = \frac{R}{R + r} = \frac{1}{11}$.
Таким образом, $\eta_{1}/ \eta_{2} = 6$.
Найдем мощность $P$, выделяющуюся на нагревателе. За 1 секунду происходит $n = f/2$ полных циклов переключения ключа К. Следовательно,
$P = nQ = \frac{f}{2} \frac{C \mathcal{E}^{2} }{2} \left ( \frac{2R + r}{R + r} \right ) \approx 5,5 Вт$.
Примечание. В условии задачи предлагается считать, что конденсатор успевает полностью перезарядиться за время $t = 1/f = 0,1$ секунды. Проверим, насколько справедливо это предположение.
Когда конденсатор подключается к батарее, появляющийся ток равен $I = \frac{ \mathcal{E} }{(R + r)}$. За время $\tau$, за которое конденсатор заряжается до напряжения $U = \mathcal{E}$, через батарею проходит полный заряд $q = C \mathcal{E}$. Следовательно, при токе $I = \frac{ \mathcal{E}}{R + r}$ конденсатор заряжается за время $\tau = \frac{q}{I} = \frac{C \mathcal{E}(R + r) }{ \mathcal{E}} = C(R + r) = 2,2 \cdot 10^{-2} с$. В действительности же по мере увеличения напряжения на конденсаторе ток будет уменьшаться, и конденсатор до напряжения $U = \mathcal{E}$ не зарядится никогда. Однако, поскольку приближенно можно считать, что конденсатор успевает полностью зарядиться.
