Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12154
2019-12-20 
Полость теплоизолирующих стенок колбы термоса откачана до давления $p = 10^{-5} атм$ (при комнатной температуре). Вместимость колбы 1 литр, площадь поверхности колбы $S = 600 см^{2}$. Оценить время, в течение которого чай в таком термосе остынет с $90^{ \circ} С$ до $70^{ \circ} С$. Теплоемкость воды $c = 4,2 \cdot 10^{3} Дж/(кг \cdot К)$; универсальная газовая постоянная $R = 8,3 Дж/(К \cdot моль)$. Утечку тепла через пробку не учитывать.
Решение:
Отвод тепла от внутренней стенки колбы (от чая) осуществляется молекулами газа, оставшегося в полости между внутренней и внешней стенками колбы. Для того и откачивают полость стенок, чтобы оставшийся там газ не образовывал сплошной теплопроводной среды, то есть чтобы молекулы двигались между стенками без столкновения друг с другом.
Будем считать, что после столкновения со стенкой молекула имеет в среднем энергию, пропорциональную температуре стенки. После удара о внешнюю стенку кинетическая энергия поступательного движения молекулы $\epsilon_{1} \sim \frac{3}{2} kT_{к}$, где $T_{к}$ - комнатная температура, после удара о внутреннюю стенку $\epsilon_{2} \sim \frac{3}{2} kT^{ \prime}$, где $T^{ \prime}$ - температура чая. Эта температура все время меняется. Однако интервал изменения $T^{ \prime}$ невелик ($\Delta T = 363 К - 343 К = 20 К$). Поэтому для оценки можно считать, что $\epsilon_{1} \sim 3/2 kT_{с}$, где $T_{с} = 353 К$ - среднее значение температуры горячей стенки.
Следовательно, каждая молекула при ударе о горячую стенку "забирает" от чая энергию
$\Delta \epsilon \sim \frac{3}{2} k(T_{с} - T_{к} )$.
Число молекул, соударяющихся с горячей стенкой за единицу времени, пропорционально $\frac{1}{2} n | \bar{v}_{x} | S$, где $n$ - плотность молекул газа, $| \bar{v}_{x} |$ - среднее значение модуля проекции скорости молекулы на ось $OX$, перпендикулярную стенке. Число молекул, ударившихся о стенку за время $\Delta t$.
$N \sim \frac{1}{2} n | \bar{v}_{x} | S \Delta t$.
Эти молекулы заберут от чая энергию
$\Delta E = N \Delta e \sim \frac{3}{4} n | \bar{v}_{x} | Sk (T_{с} - T_{к} ) \Delta t$.
Очевидно, что эта энергия равна изменению $\Delta U$ внутренней энергии чая за время $\Delta t: \Delta E = \Delta U$. Так как
$\Delta U = Mc \Delta T$,
где $\Delta T$ - изменение температуры чая,
$\frac{3}{4} n | \bar{v}_{x} | Sk (T_{с} - T_{к} ) \Delta t \sin Mc \Delta T$,
Отсюда
$\Delta t \sim \frac{4Mc \Delta T}{3n | \bar{v}_{x} | Sk (T_{с} - T_{к} ) }$.
Считая что, $| \bar{v}_{x} | \sim \sqrt{ \frac{RT_{к} }{ \mu}}$, и учитывая, что $n = \frac{p}{kT_{к} }$ (это следует из уравнения Менделеева- Клапейрона), окончательно находим
$\Delta t \sim \frac{4Mc \Delta T \sqrt{ \mu T_{к} } }{3p(T_{с} - T_{к} )S \sqrt{R} }$.
Подставляя числовые значения ($M = 1 кг, \Delta T = 20 К, T_{к} = 293 К, p = 1 Па, \mu = 29 \cdot 10^{-3} кг/моль$ и т. д.), получим
$\Delta t \sim 3 \cdot 10^{4} с \sim 10 ч$.
Полость теплоизолирующих стенок колбы термоса откачана до давления $p = 10^{-5} атм$ (при комнатной температуре). Вместимость колбы 1 литр, площадь поверхности колбы $S = 600 см^{2}$. Оценить время, в течение которого чай в таком термосе остынет с $90^{ \circ} С$ до $70^{ \circ} С$. Теплоемкость воды $c = 4,2 \cdot 10^{3} Дж/(кг \cdot К)$; универсальная газовая постоянная $R = 8,3 Дж/(К \cdot моль)$. Утечку тепла через пробку не учитывать.
Решение:
Отвод тепла от внутренней стенки колбы (от чая) осуществляется молекулами газа, оставшегося в полости между внутренней и внешней стенками колбы. Для того и откачивают полость стенок, чтобы оставшийся там газ не образовывал сплошной теплопроводной среды, то есть чтобы молекулы двигались между стенками без столкновения друг с другом.
Будем считать, что после столкновения со стенкой молекула имеет в среднем энергию, пропорциональную температуре стенки. После удара о внешнюю стенку кинетическая энергия поступательного движения молекулы $\epsilon_{1} \sim \frac{3}{2} kT_{к}$, где $T_{к}$ - комнатная температура, после удара о внутреннюю стенку $\epsilon_{2} \sim \frac{3}{2} kT^{ \prime}$, где $T^{ \prime}$ - температура чая. Эта температура все время меняется. Однако интервал изменения $T^{ \prime}$ невелик ($\Delta T = 363 К - 343 К = 20 К$). Поэтому для оценки можно считать, что $\epsilon_{1} \sim 3/2 kT_{с}$, где $T_{с} = 353 К$ - среднее значение температуры горячей стенки.
Следовательно, каждая молекула при ударе о горячую стенку "забирает" от чая энергию
$\Delta \epsilon \sim \frac{3}{2} k(T_{с} - T_{к} )$.
Число молекул, соударяющихся с горячей стенкой за единицу времени, пропорционально $\frac{1}{2} n | \bar{v}_{x} | S$, где $n$ - плотность молекул газа, $| \bar{v}_{x} |$ - среднее значение модуля проекции скорости молекулы на ось $OX$, перпендикулярную стенке. Число молекул, ударившихся о стенку за время $\Delta t$.
$N \sim \frac{1}{2} n | \bar{v}_{x} | S \Delta t$.
Эти молекулы заберут от чая энергию
$\Delta E = N \Delta e \sim \frac{3}{4} n | \bar{v}_{x} | Sk (T_{с} - T_{к} ) \Delta t$.
Очевидно, что эта энергия равна изменению $\Delta U$ внутренней энергии чая за время $\Delta t: \Delta E = \Delta U$. Так как
$\Delta U = Mc \Delta T$,
где $\Delta T$ - изменение температуры чая,
$\frac{3}{4} n | \bar{v}_{x} | Sk (T_{с} - T_{к} ) \Delta t \sin Mc \Delta T$,
Отсюда
$\Delta t \sim \frac{4Mc \Delta T}{3n | \bar{v}_{x} | Sk (T_{с} - T_{к} ) }$.
Считая что, $| \bar{v}_{x} | \sim \sqrt{ \frac{RT_{к} }{ \mu}}$, и учитывая, что $n = \frac{p}{kT_{к} }$ (это следует из уравнения Менделеева- Клапейрона), окончательно находим
$\Delta t \sim \frac{4Mc \Delta T \sqrt{ \mu T_{к} } }{3p(T_{с} - T_{к} )S \sqrt{R} }$.
Подставляя числовые значения ($M = 1 кг, \Delta T = 20 К, T_{к} = 293 К, p = 1 Па, \mu = 29 \cdot 10^{-3} кг/моль$ и т. д.), получим
$\Delta t \sim 3 \cdot 10^{4} с \sim 10 ч$.
