Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12152
2019-12-20 
Модель вертолета, изготовленная в 1/10 натуральной величины, удерживается в воздухе при мощности мотора 30 Вт. Какой должна быть минимальная мощность двигателя вертолета, изготовленного из тех же материалов, что и модель?
Решение:
Вертолет (или модель) удерживается в воздухе благодаря реактивной силе, возникающей, когда винт "отбрасывает" вниз воздушную струю. Согласно III закону Ньютона действующая иа вертолет (на винт) реактивная сила равна по абсолютному значению силе, действующей на струю.
Обозначим $\rho$ - плотность воздуха, $S$ - площадь струи и $v$ - абсолютное значение скорости струи. Тогда за время $\Delta t$ винтом отбрасывается вниз объем воздуха $S v \Delta t$ с массой $m = \rho Sv \Delta t$, и импульс воздуха изменяется на величину
$\Delta p = mv = \rho Sv^{2} \Delta t$.
Согласно II закону Ньютона на воздух действует сила $\vec{F}$ такая, что абсолютное значение ее равно
$F = \frac{ \Delta P}{ \Delta t} = \rho Sv^{2}$,
Такая же по абсолютному значению сила действует на вертолет. Чтобы вертолет удерживался в воздухе, $F$ должно быть равно абсолютному значению $Mg$ силы тяжести, действующей иа вертолет:
$\rho Sv^{2} = Mg$. (*)
Мощность $N$ двигателя равна энергии, сообщаемой воздуху за 1 секунду:
$N = \frac{mv^{2} }{2 \Delta t} = \frac{ \rho Sv^{2} }{2}$.
Подставляя сюда из (*) $v = \sqrt{ \frac{Mg}{ \rho S} }$, получим
$N = \frac{1}{2} Mg \sqrt{ \frac{Mg}{ \rho S} }$. (**)
Так как масса $M$ вертолета пропорциональна его объему, то есть кубу линейных размеров - $M \sim L^{3}$, a $S \sim L^{2}$, то из (**) имеем:
$N \sim L^{7/2}$.
Эго означает, что отношение мощностей двигателей вертолета и модели должно быть равно отношению их линейных размеров в степени 7/2, то есть
$\frac{N}{N_{мод} } = \left ( \frac{L}{L_{мод} } \right )^{7/2}$.
Отсюда
$N = N_{мод} 10^{7/2} \approx 95 кВт$.
Модель вертолета, изготовленная в 1/10 натуральной величины, удерживается в воздухе при мощности мотора 30 Вт. Какой должна быть минимальная мощность двигателя вертолета, изготовленного из тех же материалов, что и модель?
Решение:
Вертолет (или модель) удерживается в воздухе благодаря реактивной силе, возникающей, когда винт "отбрасывает" вниз воздушную струю. Согласно III закону Ньютона действующая иа вертолет (на винт) реактивная сила равна по абсолютному значению силе, действующей на струю.
Обозначим $\rho$ - плотность воздуха, $S$ - площадь струи и $v$ - абсолютное значение скорости струи. Тогда за время $\Delta t$ винтом отбрасывается вниз объем воздуха $S v \Delta t$ с массой $m = \rho Sv \Delta t$, и импульс воздуха изменяется на величину
$\Delta p = mv = \rho Sv^{2} \Delta t$.
Согласно II закону Ньютона на воздух действует сила $\vec{F}$ такая, что абсолютное значение ее равно
$F = \frac{ \Delta P}{ \Delta t} = \rho Sv^{2}$,
Такая же по абсолютному значению сила действует на вертолет. Чтобы вертолет удерживался в воздухе, $F$ должно быть равно абсолютному значению $Mg$ силы тяжести, действующей иа вертолет:
$\rho Sv^{2} = Mg$. (*)
Мощность $N$ двигателя равна энергии, сообщаемой воздуху за 1 секунду:
$N = \frac{mv^{2} }{2 \Delta t} = \frac{ \rho Sv^{2} }{2}$.
Подставляя сюда из (*) $v = \sqrt{ \frac{Mg}{ \rho S} }$, получим
$N = \frac{1}{2} Mg \sqrt{ \frac{Mg}{ \rho S} }$. (**)
Так как масса $M$ вертолета пропорциональна его объему, то есть кубу линейных размеров - $M \sim L^{3}$, a $S \sim L^{2}$, то из (**) имеем:
$N \sim L^{7/2}$.
Эго означает, что отношение мощностей двигателей вертолета и модели должно быть равно отношению их линейных размеров в степени 7/2, то есть
$\frac{N}{N_{мод} } = \left ( \frac{L}{L_{мод} } \right )^{7/2}$.
Отсюда
$N = N_{мод} 10^{7/2} \approx 95 кВт$.
