Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12146
2019-12-20 
Легкий стержень длины $l$ закреплен в вертикальной плоскости на оси, проходящей через точку О, которая делит стержень в отношении 1 : 3. К одному из концов стержня прикреплен тяжелый шарик массы $m$, другой конец стержня прикреплен к горизонтальной пружине жесткости $k$ (рис.). Пружина не растянута, когда стержень вертикален. Определить период малых колебаний стержня.
Решение:
Смешение верхнего и нижнего концов стержня от вертикали при колебаниях обозначим соответственно $x_{1}$ и $x_{2}$. Тогда
$x_{1} = \frac{l}{4} \sin \phi, x_{2} = \frac{3l}{4} \sin \phi$.
Проекции сил, действующих на шарик, на ось $X$ касательную к траектории движения шарика (рис.), равны - $m | \vec{g} | \sin \phi$ и $-| \vec{F}^{ \prime} |$, где $\vec{F}^{ \prime}$ - сила нормальной реакции стержня. Так как стержень невесом, моменты сил $\vec{F}$ и $\vec{F}^{ \prime}$ равны. Следовательно.
$| \vec{F}^{ \prime} | \frac{3}{4}l = | \vec{F} | \frac{1}{4} l$,
откуда
$| \vec{F}^{ \prime} | = \frac{kx_{1} }{3} = \frac{1}{12} kl \sin \phi$.
Теперь запишем уравнение движения маятника:
$- m | \vec{g} | \sin \phi - | \vec{F}^{ \prime} | = ma_{ \tau}$,
или
$\frac{1}{m} \left ( \frac{kl}{12} \sin \phi + m | \vec{g} | \sin \phi \right ) = \omega_{0}^{2} \frac{3l}{4} \sin \phi$.
Выражая циклическую частоту $\omega_{0}$ через период $T$ и сокращая на $\sin \phi$, находим $T$:
$T = 6 \pi \sqrt{ \frac{lm}{kl + 12m | \vec{g} | } }$.
Легкий стержень длины $l$ закреплен в вертикальной плоскости на оси, проходящей через точку О, которая делит стержень в отношении 1 : 3. К одному из концов стержня прикреплен тяжелый шарик массы $m$, другой конец стержня прикреплен к горизонтальной пружине жесткости $k$ (рис.). Пружина не растянута, когда стержень вертикален. Определить период малых колебаний стержня.
Решение:
Смешение верхнего и нижнего концов стержня от вертикали при колебаниях обозначим соответственно $x_{1}$ и $x_{2}$. Тогда
$x_{1} = \frac{l}{4} \sin \phi, x_{2} = \frac{3l}{4} \sin \phi$.
Проекции сил, действующих на шарик, на ось $X$ касательную к траектории движения шарика (рис.), равны - $m | \vec{g} | \sin \phi$ и $-| \vec{F}^{ \prime} |$, где $\vec{F}^{ \prime}$ - сила нормальной реакции стержня. Так как стержень невесом, моменты сил $\vec{F}$ и $\vec{F}^{ \prime}$ равны. Следовательно.
$| \vec{F}^{ \prime} | \frac{3}{4}l = | \vec{F} | \frac{1}{4} l$,
откуда
$| \vec{F}^{ \prime} | = \frac{kx_{1} }{3} = \frac{1}{12} kl \sin \phi$.
Теперь запишем уравнение движения маятника:
$- m | \vec{g} | \sin \phi - | \vec{F}^{ \prime} | = ma_{ \tau}$,
или
$\frac{1}{m} \left ( \frac{kl}{12} \sin \phi + m | \vec{g} | \sin \phi \right ) = \omega_{0}^{2} \frac{3l}{4} \sin \phi$.
Выражая циклическую частоту $\omega_{0}$ через период $T$ и сокращая на $\sin \phi$, находим $T$:
$T = 6 \pi \sqrt{ \frac{lm}{kl + 12m | \vec{g} | } }$.
