Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12140
2019-12-20 
Пластины плоского конденсатора площадью $S$ образуют малый угол $\alpha$ ($\alpha \ll 1$) друг с другом. Среднее расстояние между пластинами равно $b$. Нарисовать примерную картину силовых линий электростатического поля конденсатора и найти емкость конденсатора.
Решение:
Примерная картина силовых линий электростатического поля данного конденсатора показана на рисунке.
Все силовые линии - это дуги концентрических окружностей с центром в точке О. Действительно, силовые линии всегда перпендикулярны к поверхности проводника, значит, они перпендикулярны к пластинам конденсатора. Из соображений симметрии, очевидно, что они перпендикулярны и к биссектрисе угла, образованного пластинами. Если бы на месте биссектрисы оказалась тонкая металлическая пластина, картина силовых линий никак бы не изменилась. Рассуждая аналогично, мы придем к выводу, что силовые линии должны быть перпендикулярны к любому лучу, выходящему из точки О и находящемуся внутри угла о. Это и означает, что силовые линии представляют собой дуги концентрических окружностей.
Густота силовых линий не везде одна и та же, она уменьшается вдоль оси $X$. Это объяснить нетрудно. Как известно, густота силовых линий пропорциональна напряженности электрического поля. Найдем, как изменяется напряженность по мере увеличения координаты х (начало координат находится в точке В). Работа по перемещению единичного заряда с одной пластины конденсатора на другую вдоль любой силовой линии должна быть одной и той же (эта работа равна разности потенциалов между пластинами). Следовательно, чем длиннее силовая линия, тем меньше напряженность (сила, действующая на единичный заряд). С учетом малости угла $\alpha$ получим
$| \vec{E} | = | \vec{E}_{0} | \frac{b}{b + \alpha x}$,
где $\vec{E}_{0}$ - напряженность на силовой линии АВ (там, где расстояние между пластинами конденсатора равно $b$). $\vec{E}$ - напряженность на соседней силовой линии, отстоящей от АВ на $x, b$ и $b + x$ - длины соответствующих силовых линий. Так же изменяется н густота силовых линий.
Теперь найдем емкость $C$ конденсатора. По определению
$C = \frac{q}{U}$,
где $q$ - заряд н $U$ - напряжение конденсатора, $U$ можно выразить через $| \vec{E}_{0} |$:
$U = | \vec{E}_{0} |b$
Осталось выразить $q$.
Вблизи пластины электрическое поле аналогично полю плоскости; следовательно, его напряженность
$| \vec{E} | = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0} }$,
где $\sigma$ - поверхностная плотность заряда, $\epsilon_{0}$ - электрическая постоянная. Отсюда
$\sigma = 2 \epsilon_{0} | \vec{E} | = \frac{2 \epsilon_{0} | \vec{E}_{0} |b }{b + \alpha x}$.
Обозначим через $l$ "глубину" пластины и выделим на пластине узкую полоску шириной $\Delta x$. Ее заряд равен
$\Delta q = \sigma l \Delta x = \frac{2 \epsilon_{0} | \vec{E}_{0} |bl }{b + \alpha x} \Delta x$.
Чтобы найти весь заряд пластины, надо просуммировать заряды всех элементарных полосок и перейти к пределу при $\Delta x \rightarrow 0$. В результате получим
$q = 2 \epsilon_{0} bl | \vec{E}_{0} | \int_{-a}^{a} \frac{dx}{b + \alpha x } = \frac{2 \epsilon_{0} bl | \vec{E}_{0} | }{ \alpha} ln \frac{b + \alpha a}{b - \alpha a}$.
Тогда окончательно
$C = \frac{q}{U} = \frac{2 \epsilon_{0}l}{ \alpha} ln \frac{b + \alpha a}{b - \alpha a}$.
Пластины плоского конденсатора площадью $S$ образуют малый угол $\alpha$ ($\alpha \ll 1$) друг с другом. Среднее расстояние между пластинами равно $b$. Нарисовать примерную картину силовых линий электростатического поля конденсатора и найти емкость конденсатора.
Решение:
Примерная картина силовых линий электростатического поля данного конденсатора показана на рисунке.
Все силовые линии - это дуги концентрических окружностей с центром в точке О. Действительно, силовые линии всегда перпендикулярны к поверхности проводника, значит, они перпендикулярны к пластинам конденсатора. Из соображений симметрии, очевидно, что они перпендикулярны и к биссектрисе угла, образованного пластинами. Если бы на месте биссектрисы оказалась тонкая металлическая пластина, картина силовых линий никак бы не изменилась. Рассуждая аналогично, мы придем к выводу, что силовые линии должны быть перпендикулярны к любому лучу, выходящему из точки О и находящемуся внутри угла о. Это и означает, что силовые линии представляют собой дуги концентрических окружностей.
Густота силовых линий не везде одна и та же, она уменьшается вдоль оси $X$. Это объяснить нетрудно. Как известно, густота силовых линий пропорциональна напряженности электрического поля. Найдем, как изменяется напряженность по мере увеличения координаты х (начало координат находится в точке В). Работа по перемещению единичного заряда с одной пластины конденсатора на другую вдоль любой силовой линии должна быть одной и той же (эта работа равна разности потенциалов между пластинами). Следовательно, чем длиннее силовая линия, тем меньше напряженность (сила, действующая на единичный заряд). С учетом малости угла $\alpha$ получим
$| \vec{E} | = | \vec{E}_{0} | \frac{b}{b + \alpha x}$,
где $\vec{E}_{0}$ - напряженность на силовой линии АВ (там, где расстояние между пластинами конденсатора равно $b$). $\vec{E}$ - напряженность на соседней силовой линии, отстоящей от АВ на $x, b$ и $b + x$ - длины соответствующих силовых линий. Так же изменяется н густота силовых линий.
Теперь найдем емкость $C$ конденсатора. По определению
$C = \frac{q}{U}$,
где $q$ - заряд н $U$ - напряжение конденсатора, $U$ можно выразить через $| \vec{E}_{0} |$:
$U = | \vec{E}_{0} |b$
Осталось выразить $q$.
Вблизи пластины электрическое поле аналогично полю плоскости; следовательно, его напряженность
$| \vec{E} | = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0} }$,
где $\sigma$ - поверхностная плотность заряда, $\epsilon_{0}$ - электрическая постоянная. Отсюда
$\sigma = 2 \epsilon_{0} | \vec{E} | = \frac{2 \epsilon_{0} | \vec{E}_{0} |b }{b + \alpha x}$.
Обозначим через $l$ "глубину" пластины и выделим на пластине узкую полоску шириной $\Delta x$. Ее заряд равен
$\Delta q = \sigma l \Delta x = \frac{2 \epsilon_{0} | \vec{E}_{0} |bl }{b + \alpha x} \Delta x$.
Чтобы найти весь заряд пластины, надо просуммировать заряды всех элементарных полосок и перейти к пределу при $\Delta x \rightarrow 0$. В результате получим
$q = 2 \epsilon_{0} bl | \vec{E}_{0} | \int_{-a}^{a} \frac{dx}{b + \alpha x } = \frac{2 \epsilon_{0} bl | \vec{E}_{0} | }{ \alpha} ln \frac{b + \alpha a}{b - \alpha a}$.
Тогда окончательно
$C = \frac{q}{U} = \frac{2 \epsilon_{0}l}{ \alpha} ln \frac{b + \alpha a}{b - \alpha a}$.
