Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12139
2019-12-20 
На резиновый шар натянута прочная резиновая сетка, нити которой идут по меридианам шара. Какую форму примет шар, если повысить в нем давление?
Решение:
Рассмотрим одну из нитей и выберем на ней малый участок длины $l$ (рис.). Обозначим силу натяжения нити через $\vec{T}$. Равнодействующая $\vec{Q}$ сил натяжения, действующих на выбранный участок, равна по абсолютной величине $2 | \vec{T} | \sin \frac{ \alpha}{2}$. При $l \ll R$($R$ - радиус кривизны нити в данном месте) $\alpha = \frac{l}{R} \ll q$, поэтому можно считать, что
$\sin \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \alpha}{2}$, и $| \vec{Q} | = \frac{l}{R} | \vec{T} |$.
Так как выделенный участок нити находится в равновесии, сумма всех действующих на него сил равна нулю. Это означает, что со стороны шара на нить действует сила
$\vec{F} = - \vec{Q}$.
По третьему закону Ньютона на шар со стороны нити действует сила
$- \vec{F} = - ( - \vec{Q} ) = \vec{Q}$,
направленная к центру шара.
Через любую параллель шара проходит одно и то же число нитей $N$. Длина параллели радиуса $r = R \cos \phi$ ($\phi$ - угол, образованный радиусом шара, проведенным к параллели, с плоскостью экватора) равна $2 \pi r = 2 \pi R \cos \phi$. Следовательно, через участок оболочки шара площадью $l \times l$ проходит число нитей
$n = \frac{N}{2 \pi R \cos \phi} l$.
Тогда давление, оказываемое на оболочку, равно
$p = n \frac{ | \vec{Q} | }{l^{2} } = \frac{N | \vec{T} | }{2 \pi R^{2} \cos \phi }$.
Если бы оболочка шара осталась сферической, давление с увеличением угла $\phi$ возрастало бы. На самом деле согласно закону Паскаля давление везде должно быть одним и тем же. Значит, оболочка шара - не сферическая. Она шире по экватору, чем по вертикальному диаметру; радиус кривизны меридиана уменьшается к экватору и увеличивается к полюсу так, что $R^{2} \cos \phi = const$.
Форма оболочки напоминает собой тыкву (рис.). Может быть, форма тыквы как раз и объясняется наличием "подкрепляющих нитей", идущих по ее меридианам?
На резиновый шар натянута прочная резиновая сетка, нити которой идут по меридианам шара. Какую форму примет шар, если повысить в нем давление?
Решение:
Рассмотрим одну из нитей и выберем на ней малый участок длины $l$ (рис.). Обозначим силу натяжения нити через $\vec{T}$. Равнодействующая $\vec{Q}$ сил натяжения, действующих на выбранный участок, равна по абсолютной величине $2 | \vec{T} | \sin \frac{ \alpha}{2}$. При $l \ll R$($R$ - радиус кривизны нити в данном месте) $\alpha = \frac{l}{R} \ll q$, поэтому можно считать, что
$\sin \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \alpha}{2}$, и $| \vec{Q} | = \frac{l}{R} | \vec{T} |$.
Так как выделенный участок нити находится в равновесии, сумма всех действующих на него сил равна нулю. Это означает, что со стороны шара на нить действует сила
$\vec{F} = - \vec{Q}$.
По третьему закону Ньютона на шар со стороны нити действует сила
$- \vec{F} = - ( - \vec{Q} ) = \vec{Q}$,
направленная к центру шара.
Через любую параллель шара проходит одно и то же число нитей $N$. Длина параллели радиуса $r = R \cos \phi$ ($\phi$ - угол, образованный радиусом шара, проведенным к параллели, с плоскостью экватора) равна $2 \pi r = 2 \pi R \cos \phi$. Следовательно, через участок оболочки шара площадью $l \times l$ проходит число нитей
$n = \frac{N}{2 \pi R \cos \phi} l$.
Тогда давление, оказываемое на оболочку, равно
$p = n \frac{ | \vec{Q} | }{l^{2} } = \frac{N | \vec{T} | }{2 \pi R^{2} \cos \phi }$.
Если бы оболочка шара осталась сферической, давление с увеличением угла $\phi$ возрастало бы. На самом деле согласно закону Паскаля давление везде должно быть одним и тем же. Значит, оболочка шара - не сферическая. Она шире по экватору, чем по вертикальному диаметру; радиус кривизны меридиана уменьшается к экватору и увеличивается к полюсу так, что $R^{2} \cos \phi = const$.
Форма оболочки напоминает собой тыкву (рис.). Может быть, форма тыквы как раз и объясняется наличием "подкрепляющих нитей", идущих по ее меридианам?
