Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12136
2019-12-17 
Даны две пружины из одинакового материала, каждая из которых свита виток к витку. Диаметры пружин - 3 мм и 9 мм, длины - 1 см и 7 см, диаметры проволок - 0,2 мм и 0,6 мм. Жесткость первой пружины 0,14 Н/см. Найти коэффициент жесткость второй пружины.
Решение:
Заметим, что отрезок второй пружины длиной 3 см геометрически подобен первой пружине - все его размеры точно в три раза больше. Посмотрим, как соотносятся жесткости подобных пружин, изготовленных из одного материала.
Жесткость пружины однозначно определяется ее геометрической конфигурацией и упругими свойствами материала, из которого она изготовлена. Будем искать формулу, определяющую жесткость $k$, справедливую для любой пружины, геометрически подобной первой. Конфигурация такой пружины полностью определена, как только задан какой-либо один ее размер, например, диаметр витка $D$. Действительно, любой другой размер может быть получен из соответствующего размера первой пружины путем умножения на коэффициент подобия $n = D/D_{1}$, где $D_{1}$ - диаметр первой пружины А упругие свойства материала характеризуются модулем Юнга $E$.
Воспользуемся теперь соображениями размерности. Из величин $E$ (размерность $[E] = Н/м^{2}$) и $D$ (размерность $[D] = м$) можно составить единственную комбинацию с размерностью $k$ (размерность $[k] = Н/м$): ED. Значит,
$k = cED$,
где $c$ - безразмерная величина, зависящая от параметров пружины, то есть $c = f \left ( \frac{l}{D}, \frac{d}{D} \right )$. Определить значение с методом размерностей невозможно. Однако нам достаточно того факта, что для всех пружин, геометрически подобных первой, значение $c$ одно и то же.
Этот вывод позволяет нам определить жесткость $k_{3}$ пружины, геометрически подобной $c$ коэффициентом подобия $n = 3$ первой пружине с жесткостью $k_{1} = 0,14 Н/см$
$k_{2} = 3k_{1} = 0,42 Н/см$.
Теперь сравним пружину с жесткостью $k_{3}$ и вторую пружину из условия задачи, жесткость которой $k_{2}$ надо найти. Все их параметры, за исключением длины, одинаковы, так что меньшую из них можно представить в виде трех последовательно соединенных пружин длиной 1 см, а большую - в виде семи таких пружин. Следовательно, под действием одной и той же силы $\vec{F}$ удлинение $x_{2} = | \vec{F} |/ k_{3}$ меньшей пружины и удлинение $x_{2} = | \vec{F} |/ k_{2}$ большей пружины относятся как 3 : 7. Следовательно,
$k_{2} = \frac{3}{7} k_{3} = 0,18 Н/см$.
Даны две пружины из одинакового материала, каждая из которых свита виток к витку. Диаметры пружин - 3 мм и 9 мм, длины - 1 см и 7 см, диаметры проволок - 0,2 мм и 0,6 мм. Жесткость первой пружины 0,14 Н/см. Найти коэффициент жесткость второй пружины.
Решение:
Заметим, что отрезок второй пружины длиной 3 см геометрически подобен первой пружине - все его размеры точно в три раза больше. Посмотрим, как соотносятся жесткости подобных пружин, изготовленных из одного материала.
Жесткость пружины однозначно определяется ее геометрической конфигурацией и упругими свойствами материала, из которого она изготовлена. Будем искать формулу, определяющую жесткость $k$, справедливую для любой пружины, геометрически подобной первой. Конфигурация такой пружины полностью определена, как только задан какой-либо один ее размер, например, диаметр витка $D$. Действительно, любой другой размер может быть получен из соответствующего размера первой пружины путем умножения на коэффициент подобия $n = D/D_{1}$, где $D_{1}$ - диаметр первой пружины А упругие свойства материала характеризуются модулем Юнга $E$.
Воспользуемся теперь соображениями размерности. Из величин $E$ (размерность $[E] = Н/м^{2}$) и $D$ (размерность $[D] = м$) можно составить единственную комбинацию с размерностью $k$ (размерность $[k] = Н/м$): ED. Значит,
$k = cED$,
где $c$ - безразмерная величина, зависящая от параметров пружины, то есть $c = f \left ( \frac{l}{D}, \frac{d}{D} \right )$. Определить значение с методом размерностей невозможно. Однако нам достаточно того факта, что для всех пружин, геометрически подобных первой, значение $c$ одно и то же.
Этот вывод позволяет нам определить жесткость $k_{3}$ пружины, геометрически подобной $c$ коэффициентом подобия $n = 3$ первой пружине с жесткостью $k_{1} = 0,14 Н/см$
$k_{2} = 3k_{1} = 0,42 Н/см$.
Теперь сравним пружину с жесткостью $k_{3}$ и вторую пружину из условия задачи, жесткость которой $k_{2}$ надо найти. Все их параметры, за исключением длины, одинаковы, так что меньшую из них можно представить в виде трех последовательно соединенных пружин длиной 1 см, а большую - в виде семи таких пружин. Следовательно, под действием одной и той же силы $\vec{F}$ удлинение $x_{2} = | \vec{F} |/ k_{3}$ меньшей пружины и удлинение $x_{2} = | \vec{F} |/ k_{2}$ большей пружины относятся как 3 : 7. Следовательно,
$k_{2} = \frac{3}{7} k_{3} = 0,18 Н/см$.
