Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12135
2019-12-17 
Под поршнем цилиндра находится ртуть занимающий объем $V_{p}$ и $k$ молей идеального газа. Площадь поверхности поршня равна $S$. Поршень и дно цилиндра изготовлены из материала, идеально смачиваемого ртутью. Ртуть под поршнем приняли симметричную относительно оси цилиндра форму, показанную на рисунке. На поршень действует сила $\vec{F}$.
1) Вывести уравнение состояния системы ртуть + газ в форме $p = f(V, T)$, где $p$ - давление, $T$ - абсолютная температура $V$ - объём части сосуда под поршнем.
2) Найти условие, при котором $p = 0$. Поверхностное натяжение ртути равно $\sigma$. Силу тяжести не учитывать. Принять, что объем ртути и ее поверхностное натяжение $\sigma$ постоянны (то есть не зависят от $T$ и $p$) и что $h \ll r$.
Решение:
Силы, действующие па поршень снизу, - это сила $\vec{F}_{p}$ давления ртути и сила $\vec{F}_{г}$ давлении газа. $| \vec{F}_{p} | = p_{p}S_{p}, | \vec{F}_{г} | = p_{г} (S - S_{p} )$, где $p_{p}, p_{г}$ - давления ртути и газа, $S_{p}$ - площадь поршня, покрытая ртутью.
Давление газа равно
$p_{г} = \frac{kRT}{V_{г} } = \frac{kRT}{V - V_{p} }$,
где $V_{г}$ - объем, занимаемый газом. Поскольку поверхность границы ртуть - газ искривлена, давление "под" этой поверхностью, то есть давление газа, больше, чем давление "над" ней, то есть давление ртути. Найдем давление ртути.
Рассмотрим малый участок поверхности границы ртуть - газ (рис.). Поскольку $r \gg h$, можно считать, что эта поверхность - поверхность полуцилиндра. Выделим мысленно параллелепипед, в который вписывается эта поверхность (см. рис.). На него действуют сила давления газа $| vec{f}_{г} | = p_{г}s = p_{г}lh$, сила давления ртути $| vec{v}_{p} | = p_{p}s = p_{p}lh$ и силы поверхностного натяжения ртути $| \vec{f}_{пов} | = \sigma l$. Из условия равновесия этого параллелепипеда следует, что
$p_{г}lh = p_{p}lh + 2 \sigma l$.
откуда
$p_{p} = p_{г} - \frac{2 \sigma}{h}$.
Силы, с которыми газ и ртуть давят на поршень, равны
$| \vec{F}_{г} | = p_{г} (S - S_{p}) = \frac{kRT}{V - V_{p} } (S - S_{p})$,
$| \vec{F}_{p} | = p_{p}S_{p} = \left ( \frac{kRT}{V - V_{p} } - \frac{2 \sigma }{h} \right ) S_{p}$.
Поскольку $h \ll r$, можно считать, что $S_{p} = V_{p}/h$. Учитывая, что $h = V/S$, найдем полную силу, действующую на поршень снизу:
$| \vec{F}_{г} | + | \vec{F}_{p} | = p_{ср}S = \frac{kRT}{V - V_{p} } S - \frac{2 \sigma V_{p}S^{2} }{V^{2} }$,
где $p_{ср}$ - среднее давление на поршень снизу. Отсюда
$p_{ср} = \frac{kRT}{V - V_{p} } - \frac{2 \sigma V_{p}S}{V^{2} }$.
Среднее давление равно нулю при условии
$\frac{kRT}{V - V_{p} } = \frac{2 \sigma V_{p}S}{V^{2} }$,
то есть $p_{ср} = 0$ при
$T = \frac{2 \sigma V_{p}S(V - V_{p} ) }{V^{2}kR }$.
Под поршнем цилиндра находится ртуть занимающий объем $V_{p}$ и $k$ молей идеального газа. Площадь поверхности поршня равна $S$. Поршень и дно цилиндра изготовлены из материала, идеально смачиваемого ртутью. Ртуть под поршнем приняли симметричную относительно оси цилиндра форму, показанную на рисунке. На поршень действует сила $\vec{F}$.
1) Вывести уравнение состояния системы ртуть + газ в форме $p = f(V, T)$, где $p$ - давление, $T$ - абсолютная температура $V$ - объём части сосуда под поршнем.
2) Найти условие, при котором $p = 0$. Поверхностное натяжение ртути равно $\sigma$. Силу тяжести не учитывать. Принять, что объем ртути и ее поверхностное натяжение $\sigma$ постоянны (то есть не зависят от $T$ и $p$) и что $h \ll r$.
Решение:
Силы, действующие па поршень снизу, - это сила $\vec{F}_{p}$ давления ртути и сила $\vec{F}_{г}$ давлении газа. $| \vec{F}_{p} | = p_{p}S_{p}, | \vec{F}_{г} | = p_{г} (S - S_{p} )$, где $p_{p}, p_{г}$ - давления ртути и газа, $S_{p}$ - площадь поршня, покрытая ртутью.
Давление газа равно
$p_{г} = \frac{kRT}{V_{г} } = \frac{kRT}{V - V_{p} }$,
где $V_{г}$ - объем, занимаемый газом. Поскольку поверхность границы ртуть - газ искривлена, давление "под" этой поверхностью, то есть давление газа, больше, чем давление "над" ней, то есть давление ртути. Найдем давление ртути.
Рассмотрим малый участок поверхности границы ртуть - газ (рис.). Поскольку $r \gg h$, можно считать, что эта поверхность - поверхность полуцилиндра. Выделим мысленно параллелепипед, в который вписывается эта поверхность (см. рис.). На него действуют сила давления газа $| vec{f}_{г} | = p_{г}s = p_{г}lh$, сила давления ртути $| vec{v}_{p} | = p_{p}s = p_{p}lh$ и силы поверхностного натяжения ртути $| \vec{f}_{пов} | = \sigma l$. Из условия равновесия этого параллелепипеда следует, что
$p_{г}lh = p_{p}lh + 2 \sigma l$.
откуда
$p_{p} = p_{г} - \frac{2 \sigma}{h}$.
Силы, с которыми газ и ртуть давят на поршень, равны
$| \vec{F}_{г} | = p_{г} (S - S_{p}) = \frac{kRT}{V - V_{p} } (S - S_{p})$,
$| \vec{F}_{p} | = p_{p}S_{p} = \left ( \frac{kRT}{V - V_{p} } - \frac{2 \sigma }{h} \right ) S_{p}$.
Поскольку $h \ll r$, можно считать, что $S_{p} = V_{p}/h$. Учитывая, что $h = V/S$, найдем полную силу, действующую на поршень снизу:
$| \vec{F}_{г} | + | \vec{F}_{p} | = p_{ср}S = \frac{kRT}{V - V_{p} } S - \frac{2 \sigma V_{p}S^{2} }{V^{2} }$,
где $p_{ср}$ - среднее давление на поршень снизу. Отсюда
$p_{ср} = \frac{kRT}{V - V_{p} } - \frac{2 \sigma V_{p}S}{V^{2} }$.
Среднее давление равно нулю при условии
$\frac{kRT}{V - V_{p} } = \frac{2 \sigma V_{p}S}{V^{2} }$,
то есть $p_{ср} = 0$ при
$T = \frac{2 \sigma V_{p}S(V - V_{p} ) }{V^{2}kR }$.
