Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12134
2019-12-17 
Рассмотрим схему зарядки конденсатора от батареи (рис.). Конденсатор заряжается до напряжения батареи $U$, приобретая энергию $\frac{C_{1}U^{2} }{2}$ и заряд $q = C_{1}U$. Этот заряд потребляется от батареи, которая, таким образом, совершает работу $qU = C_{1}U^{2}$. Коэффициент полезного действия равен 1/2. Найти способ зарядки конденсатора до напряжения батареи с большим КПД. Не разрешается использовать дополнительные источники энергии.
Решение:
I. Возьмем еще одни конденсатор, емкость которого $C_{2} = nC_{1}$ ($n$ - некоторое число), и включим его в цепь последовательно с конденсатором емкости $C_{1}$ (рис.). Емкость в такой цепи равна $C = \frac{C_{1}C_{2} }{C_{1} + C_{2} } = \frac{n}{n + 1}C_{1}$. Заряды, которые приобретут конденсаторы, равны
$q_{1} = q_{2} = \frac{n}{n + 1} C_{1}U $,
а напряжения на конденсаторах -
$U_{1} = \frac{q_{1} }{C_{1} } = \frac{n}{n + 1}U, U_{2} = \frac{q_{2} }{C_{2} } = \frac{1}{n + 1}U$.
Отключив заряженные конденсаторы от батареи, соберем цепь, показанную на рисунке. Напряжения на конденсаторах в такой цепи $U_{1}^{ \prime} = U_{2}^{ \prime} = \frac{q_{1}^{ \prime} }{C_{1} } = \frac{q_{2}^{ \prime} }{C_{2} } = \frac{q_{2}^{ \prime} }{nC_{1} }$, где $q_{1}^{ \prime}, q_{2}^{ \prime}$ - заряды, которые установятся на конденсаторах. Согласно закону сохранения зарядов $q_{1}^{ \prime} + q_{2}^{ \prime} = q_{1} + q_{2} = \frac{2n}{n + 1} C_{1}U$. Решив систему уравнений
$\begin{cases} q_{1}^{ \prime} + q_{2}^{ \prime} = \frac{2n}{n + 1}C_{1}U, \\ \frac{q_{1}^{ \prime} }{C_{1} } = \frac{q_{2}^{ \prime} }{nC_{1} } \end{cases}$
найдем: $q_{1}^{ \prime} = \frac{2n}{(n + 1)^{2} } C_{1}U, U_{1}^{ \prime} = \frac{2n}{(n + 1)^{2} }U$.
Теперь конденсатор $C_{1}$, заряженный до напряжения $U_{1}^{ \prime}$, вновь подключим к батарее (см. рис.). При этом он дозарядится до напряжения $U$. Заряд конденсатора увеличится на
$\Delta q = C_{1}(U - U_{1}^{ \prime} ) = \frac{n^{2} + 1 }{(n + 1)^{2} } C_{1}U$.
Таким образом, суммарный заряд $Q$, который получил конденсатор $C_{1}$ от батареи, равен
$Q = q_{1} + \Delta q = \frac{2n^{2} + n + 1 }{(n + 1)^{2}} C_{1}U$.
Энергия, которую приобрел конденсатор, равна
$\Pi = \frac{C_{1}U^{2} }{2}$.
Работа $A$, совершенная батареей при зарядке конденсатора до напряжения $U$, равна
$A = QU = \frac{2n^{2} + n + 1 }{(n + 1)^{2} }C_{1}U^{2}$.
Так что КПД равен
$\eta = \frac{ \Pi}{A} = \frac{(n + 1)^{2} }{2(2n^{2} + n + 1 )}$.
Чтобы значение $\eta$ было больше 1/2, необходимо, чтобы выполнялось неравенство
$\frac{(n + 1)^{2}}{2n^{2} + n + 1 } \geq 1$.
Отсюда находим, что $n < 1$.
Итак, заряжая конденсатор $C_{1}$ до напряжения $U$, мы добиваемся более эффективного использования батареи ($\eta > \frac{1}{2}$), если в описанном выше процессе пользуемся дополнительно конденсатором $C_{2}$, емкость которого меньше $C_{1}$.
Те, кто знаком с методом отыскания экстремумов с помощью производной, могут найти, что в описанном процессе $\eta = \eta_{max}$ при $n = 1/3$ ($\eta_{max} \approx 57$%).
Используя не один, а два, три или больше дополнительных конденсаторов, можно придумать очень много различных способов зарядки. При достаточно большом числе дополнительных конденсаторов можно сделать КПД сколь угодно близким к единице.
II. Опишем еще один способ зарядки, при котором может быть достигнут КПД, близкий к единице.
Соберем цепь, приведенную на рисунке. При включении в цепь батареи (ключ К в положении I) ток через катушку начнет постепенно возрастать. Подождем определенное время, пока по цепи протечет заряд $\frac{CU}{2}$. За это время батарея совершит работу $\frac{CU^{2}}{2}$, часть которой - $\frac{CU^{2} }{8}$ - перейдет в энергию конденсатора, а другая часть будет запасена в магнитном поле катушки. Теперь быстро переведем ключ К в положение 2. В течение некоторого времени ток через катушку будет продолжать течь в прежнем направлении, постепенно уменьшаясь. Конденсатор при этом будет дозаряжаться. В момент, когда ток в катушке станет равным нулю, быстро переведем ключ К в положение 1. За то время, пока ключ К находился в положении 2, энергия магнитного поля катушки перешла в энергию конденсатора. Таким образом, поскольку в этой цепи энергия не рассеивается (мы пренебрегаем сопротивлением катушки, батареи и т. д.), вся энергия $\frac{CU^{2} }{2}$, потребленная от батареи, перейдет в энергию конденсатора который, следовательно, зарядится до напряжения $U$, КПД в таком процессе равен единице. В реальных условиях (при наличии сопротивлений в цепи) конденсатор зарядится до меньшего напряжения и для дозарядки его придется подключить к батарее; в результате КПД несколько уменьшится.
Рассмотрим схему зарядки конденсатора от батареи (рис.). Конденсатор заряжается до напряжения батареи $U$, приобретая энергию $\frac{C_{1}U^{2} }{2}$ и заряд $q = C_{1}U$. Этот заряд потребляется от батареи, которая, таким образом, совершает работу $qU = C_{1}U^{2}$. Коэффициент полезного действия равен 1/2. Найти способ зарядки конденсатора до напряжения батареи с большим КПД. Не разрешается использовать дополнительные источники энергии.
Решение:
I. Возьмем еще одни конденсатор, емкость которого $C_{2} = nC_{1}$ ($n$ - некоторое число), и включим его в цепь последовательно с конденсатором емкости $C_{1}$ (рис.). Емкость в такой цепи равна $C = \frac{C_{1}C_{2} }{C_{1} + C_{2} } = \frac{n}{n + 1}C_{1}$. Заряды, которые приобретут конденсаторы, равны
$q_{1} = q_{2} = \frac{n}{n + 1} C_{1}U $,
а напряжения на конденсаторах -
$U_{1} = \frac{q_{1} }{C_{1} } = \frac{n}{n + 1}U, U_{2} = \frac{q_{2} }{C_{2} } = \frac{1}{n + 1}U$.
Отключив заряженные конденсаторы от батареи, соберем цепь, показанную на рисунке. Напряжения на конденсаторах в такой цепи $U_{1}^{ \prime} = U_{2}^{ \prime} = \frac{q_{1}^{ \prime} }{C_{1} } = \frac{q_{2}^{ \prime} }{C_{2} } = \frac{q_{2}^{ \prime} }{nC_{1} }$, где $q_{1}^{ \prime}, q_{2}^{ \prime}$ - заряды, которые установятся на конденсаторах. Согласно закону сохранения зарядов $q_{1}^{ \prime} + q_{2}^{ \prime} = q_{1} + q_{2} = \frac{2n}{n + 1} C_{1}U$. Решив систему уравнений
$\begin{cases} q_{1}^{ \prime} + q_{2}^{ \prime} = \frac{2n}{n + 1}C_{1}U, \\ \frac{q_{1}^{ \prime} }{C_{1} } = \frac{q_{2}^{ \prime} }{nC_{1} } \end{cases}$
найдем: $q_{1}^{ \prime} = \frac{2n}{(n + 1)^{2} } C_{1}U, U_{1}^{ \prime} = \frac{2n}{(n + 1)^{2} }U$.
Теперь конденсатор $C_{1}$, заряженный до напряжения $U_{1}^{ \prime}$, вновь подключим к батарее (см. рис.). При этом он дозарядится до напряжения $U$. Заряд конденсатора увеличится на
$\Delta q = C_{1}(U - U_{1}^{ \prime} ) = \frac{n^{2} + 1 }{(n + 1)^{2} } C_{1}U$.
Таким образом, суммарный заряд $Q$, который получил конденсатор $C_{1}$ от батареи, равен
$Q = q_{1} + \Delta q = \frac{2n^{2} + n + 1 }{(n + 1)^{2}} C_{1}U$.
Энергия, которую приобрел конденсатор, равна
$\Pi = \frac{C_{1}U^{2} }{2}$.
Работа $A$, совершенная батареей при зарядке конденсатора до напряжения $U$, равна
$A = QU = \frac{2n^{2} + n + 1 }{(n + 1)^{2} }C_{1}U^{2}$.
Так что КПД равен
$\eta = \frac{ \Pi}{A} = \frac{(n + 1)^{2} }{2(2n^{2} + n + 1 )}$.
Чтобы значение $\eta$ было больше 1/2, необходимо, чтобы выполнялось неравенство
$\frac{(n + 1)^{2}}{2n^{2} + n + 1 } \geq 1$.
Отсюда находим, что $n < 1$.
Итак, заряжая конденсатор $C_{1}$ до напряжения $U$, мы добиваемся более эффективного использования батареи ($\eta > \frac{1}{2}$), если в описанном выше процессе пользуемся дополнительно конденсатором $C_{2}$, емкость которого меньше $C_{1}$.
Те, кто знаком с методом отыскания экстремумов с помощью производной, могут найти, что в описанном процессе $\eta = \eta_{max}$ при $n = 1/3$ ($\eta_{max} \approx 57$%).
Используя не один, а два, три или больше дополнительных конденсаторов, можно придумать очень много различных способов зарядки. При достаточно большом числе дополнительных конденсаторов можно сделать КПД сколь угодно близким к единице.
II. Опишем еще один способ зарядки, при котором может быть достигнут КПД, близкий к единице.
Соберем цепь, приведенную на рисунке. При включении в цепь батареи (ключ К в положении I) ток через катушку начнет постепенно возрастать. Подождем определенное время, пока по цепи протечет заряд $\frac{CU}{2}$. За это время батарея совершит работу $\frac{CU^{2}}{2}$, часть которой - $\frac{CU^{2} }{8}$ - перейдет в энергию конденсатора, а другая часть будет запасена в магнитном поле катушки. Теперь быстро переведем ключ К в положение 2. В течение некоторого времени ток через катушку будет продолжать течь в прежнем направлении, постепенно уменьшаясь. Конденсатор при этом будет дозаряжаться. В момент, когда ток в катушке станет равным нулю, быстро переведем ключ К в положение 1. За то время, пока ключ К находился в положении 2, энергия магнитного поля катушки перешла в энергию конденсатора. Таким образом, поскольку в этой цепи энергия не рассеивается (мы пренебрегаем сопротивлением катушки, батареи и т. д.), вся энергия $\frac{CU^{2} }{2}$, потребленная от батареи, перейдет в энергию конденсатора который, следовательно, зарядится до напряжения $U$, КПД в таком процессе равен единице. В реальных условиях (при наличии сопротивлений в цепи) конденсатор зарядится до меньшего напряжения и для дозарядки его придется подключить к батарее; в результате КПД несколько уменьшится.
