Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12133
2019-12-17 
К вертикальной оси привязана нить длины $2l$, на конце и в середине которой прикреплены одинаковые шарики (рис.). Ось приводят во вращение с угловой скоростью $\omega$. При каком значении угловой скорости участки ОА и АВ начнут отклоняться от вертикали? Каким будет отношение малых углов отклонения участков нити ОА и АВ от вертикали?
Решение:
Форма такого "двойного" вращающегося маятника определяется двумя углами $\alpha$ и $\phi$ отклонения нитей от вертикали (рис.). Поскольку нас интересует значение той угловой скорости $\omega$, при которой нити начинают отклоняться от вертикали, мы будем рассматривать движение маятника при условии, что углы $\alpha$ и $\phi$ малы.
Пусть при некоторой угловой скорости вращения $\omega$ нити ОА и АВ отклонились от вертикали на малые углы $\alpha$ и $\phi$ соответственно (рис.). При этом шарики вращаются равномерно с угловой скоростью $\omega$ по окружностям, лежащим в горизонтальных плоскостях. Радиксы этих окружностей равны соответственно $r_{1} = l \sin \alpha$ и $r_{2} = l( \sin \alpha + \sin \phi )$, где $l$ - длина каждой нити. Центростремительное ускорение $\omega^{2}r_{1}$ верхнему шарику сообщает равнодействующая приложенных к нему сил - силы тяжести $m \vec{g}$ ($m$ - масса шарика), силы $\vec{N}_{1}$ натяжения нити ОА и силы $\vec{N}_{2}$ натяжения нити АB. Центростремительное ускорение $\omega^{2}r_{2}$ нижнему шарику сообщает равнодействующая сил $m \vec{g}$ и $\vec{N}_{2}$. Найдем силы $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$.
Нижний шарик не перемещается в вертикальном направлении, следовательно (см. рис.),
$| m \vec{g} | = | \vec{N}_{2} | \cos \phi \Rightarrow | \vec{N}_{2} | = \frac{ | m \vec{g} | }{ \cos \phi}$.
Верхний шарик также не перемещается в вертикальном направлении; следовательно,
$| m \vec{g}| + | \vec{N}_{2} | \cos \phi = 2 | m \vec{g} | = | \vec{N}_{1} | \cos \alpha = |m \vec{g} | tg \phi$, (1)
Теперь запишем уравнение движения шариков по окружности: для нижнего шарика -
$m \omega^{2}l ( \sin \alpha + \sin \phi ) = | \vec{N}_{2} | \sin \phi = | m \vec{g} | tg \phi$, (1)
для верхнего шарика -
$m \omega^{2}l \sin \alpha = | \vec{N}_{1} | \sin \alpha - | \vec{N}_{2} | \sin \phi = 2 | m \vec{g} | tg \alpha - | m \vec{g} | tg \phi$. (2)
Поскольку углы $\alpha$ и $\phi$ малы, можем считать $\sin \alpha = \alpha, \sin \phi = \phi, tg \phi = \phi, tg \phi = \phi$. С учетом этого из (1) и (2) получаем
$\omega^{2}l ( \alpha + \phi ) = | \vec{g} | \phi, \omega^{2} l \alpha = | \vec{g} | (2 \alpha - \phi )$.
или
$\omega^{2}l \alpha + \phi ( \omega^{2}l - | \vec{g} | ) = 0$,
$( \omega^{2}l - 2 | \vec{g} | ) \alpha + \phi | \vec{g} | = 0$.
Из этих двух выражений находим:
$\frac{ \alpha }{ \phi } = \frac{ | \vec{g} | - \omega^{2}l }{ \omega^{2}l } = \frac{ | \vec{g} | }{2 | \vec{g} | - \omega^{2}l }$, (3)
что позволяет записать следующее уравнение для $\omega^{2}$:
$( \omega^{2})^{2} l^{2} - 4 | \vec{g} | l \omega^{2} + 2 | \vec{g}|^{2} = 0$
Отсюда находим
$\omega_{1,2}^{2} = \frac{| \vec{g} |}{l} (2 \pm \sqrt{2} )$,
$\omega_{1} = \sqrt{ \frac{| \vec{g} |}{l} (2 + \sqrt{2} ) } , \omega_{2} = \sqrt{ \frac{| \vec{g} |}{l} (2 - \sqrt{2} ) }$
(значения $\omega_{1}^{ \prime} = - \omega_{1}$ и $\omega_{2}^{ \prime} = - \omega_{2}$ соответствуют вращению в противоположную сторону). Поскольку $\omega_{1} < \omega_{1}$, естественно считать, что нити маятника начинают отклоняться от вертикали при угловой скорости вращения $\omega = \omega_{2}$.
Найдем отношение малых углов отклонения нитей ОА и АВ от вертикали. Из выражения (3) имеем
при $\omega = \omega_{1} - \frac{ \alpha }{ \phi} = - \sqrt{2}$,
при $\omega = \omega_{2} - \frac{ \alpha }{ \phi} = \sqrt{2}$.
Тот факт, что при $\omega = \omega_{1} \frac{ \alpha}{ \phi} < 0$, означает, что при такой угловой скорости нити ОА н АВ отклонены от вертикали в противоположные стороны (рис.).
К вертикальной оси привязана нить длины $2l$, на конце и в середине которой прикреплены одинаковые шарики (рис.). Ось приводят во вращение с угловой скоростью $\omega$. При каком значении угловой скорости участки ОА и АВ начнут отклоняться от вертикали? Каким будет отношение малых углов отклонения участков нити ОА и АВ от вертикали?
Решение:
Форма такого "двойного" вращающегося маятника определяется двумя углами $\alpha$ и $\phi$ отклонения нитей от вертикали (рис.). Поскольку нас интересует значение той угловой скорости $\omega$, при которой нити начинают отклоняться от вертикали, мы будем рассматривать движение маятника при условии, что углы $\alpha$ и $\phi$ малы.
Пусть при некоторой угловой скорости вращения $\omega$ нити ОА и АВ отклонились от вертикали на малые углы $\alpha$ и $\phi$ соответственно (рис.). При этом шарики вращаются равномерно с угловой скоростью $\omega$ по окружностям, лежащим в горизонтальных плоскостях. Радиксы этих окружностей равны соответственно $r_{1} = l \sin \alpha$ и $r_{2} = l( \sin \alpha + \sin \phi )$, где $l$ - длина каждой нити. Центростремительное ускорение $\omega^{2}r_{1}$ верхнему шарику сообщает равнодействующая приложенных к нему сил - силы тяжести $m \vec{g}$ ($m$ - масса шарика), силы $\vec{N}_{1}$ натяжения нити ОА и силы $\vec{N}_{2}$ натяжения нити АB. Центростремительное ускорение $\omega^{2}r_{2}$ нижнему шарику сообщает равнодействующая сил $m \vec{g}$ и $\vec{N}_{2}$. Найдем силы $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$.
Нижний шарик не перемещается в вертикальном направлении, следовательно (см. рис.),
$| m \vec{g} | = | \vec{N}_{2} | \cos \phi \Rightarrow | \vec{N}_{2} | = \frac{ | m \vec{g} | }{ \cos \phi}$.
Верхний шарик также не перемещается в вертикальном направлении; следовательно,
$| m \vec{g}| + | \vec{N}_{2} | \cos \phi = 2 | m \vec{g} | = | \vec{N}_{1} | \cos \alpha = |m \vec{g} | tg \phi$, (1)
Теперь запишем уравнение движения шариков по окружности: для нижнего шарика -
$m \omega^{2}l ( \sin \alpha + \sin \phi ) = | \vec{N}_{2} | \sin \phi = | m \vec{g} | tg \phi$, (1)
для верхнего шарика -
$m \omega^{2}l \sin \alpha = | \vec{N}_{1} | \sin \alpha - | \vec{N}_{2} | \sin \phi = 2 | m \vec{g} | tg \alpha - | m \vec{g} | tg \phi$. (2)
Поскольку углы $\alpha$ и $\phi$ малы, можем считать $\sin \alpha = \alpha, \sin \phi = \phi, tg \phi = \phi, tg \phi = \phi$. С учетом этого из (1) и (2) получаем
$\omega^{2}l ( \alpha + \phi ) = | \vec{g} | \phi, \omega^{2} l \alpha = | \vec{g} | (2 \alpha - \phi )$.
или
$\omega^{2}l \alpha + \phi ( \omega^{2}l - | \vec{g} | ) = 0$,
$( \omega^{2}l - 2 | \vec{g} | ) \alpha + \phi | \vec{g} | = 0$.
Из этих двух выражений находим:
$\frac{ \alpha }{ \phi } = \frac{ | \vec{g} | - \omega^{2}l }{ \omega^{2}l } = \frac{ | \vec{g} | }{2 | \vec{g} | - \omega^{2}l }$, (3)
что позволяет записать следующее уравнение для $\omega^{2}$:
$( \omega^{2})^{2} l^{2} - 4 | \vec{g} | l \omega^{2} + 2 | \vec{g}|^{2} = 0$
Отсюда находим
$\omega_{1,2}^{2} = \frac{| \vec{g} |}{l} (2 \pm \sqrt{2} )$,
$\omega_{1} = \sqrt{ \frac{| \vec{g} |}{l} (2 + \sqrt{2} ) } , \omega_{2} = \sqrt{ \frac{| \vec{g} |}{l} (2 - \sqrt{2} ) }$
(значения $\omega_{1}^{ \prime} = - \omega_{1}$ и $\omega_{2}^{ \prime} = - \omega_{2}$ соответствуют вращению в противоположную сторону). Поскольку $\omega_{1} < \omega_{1}$, естественно считать, что нити маятника начинают отклоняться от вертикали при угловой скорости вращения $\omega = \omega_{2}$.
Найдем отношение малых углов отклонения нитей ОА и АВ от вертикали. Из выражения (3) имеем
при $\omega = \omega_{1} - \frac{ \alpha }{ \phi} = - \sqrt{2}$,
при $\omega = \omega_{2} - \frac{ \alpha }{ \phi} = \sqrt{2}$.
Тот факт, что при $\omega = \omega_{1} \frac{ \alpha}{ \phi} < 0$, означает, что при такой угловой скорости нити ОА н АВ отклонены от вертикали в противоположные стороны (рис.).
