Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12132
2019-12-17 
На краю стола высоты $H$ стоит шар радиуса $R$, причем $R \ll H$. Шар начинает соскальзывать со стола без трения. На какая расстоянии от стола упадет шар?
Решение:
До тех пор, пока шар соскальзывает со стола, касаясь его в точке А, центр тяжести шара движется по окружности радиуса $R$ (расстояние между центром и точкой А все время равно $R$). При этом в каждый момент времени скорость центра тяжести (точки О) направлена перпендикулярно радиусу, проведенному в точку А: центростремительное ускорение точке О сообщают две силы - сила тяжести и сила реакции стола. В тот момент, когда шар отрывается от стола, сила реакции равна нулю. Значит, а этот момент Центростремительное ускорение точке О сообщает только сила тяжести.
Пусть в момент отрыва шар касается стола точкой Р (рис.), скорость точки О в этот момент равна $\vec{v}$. Согласно II закону Ньютона в этот момент (см. рис.)
$\frac{mv^{2}}{R} = m| \vec{g} | \cos \alpha$
($m$ - масса шара). Согласно закону сохранения энергии
$m | \vec{g} | R = \frac{mv^{2} }{2} + mgh = \frac{mv^{2} }{2} + m | \vec{g} | R \cos \alpha$.
Решая эти уравнения совместно, находим:
$\cos \alpha = \frac{2}{3}, | \vec{v} | = \sqrt{ \frac{2}{3} | \vec{g} | R }$.
Итак, в момент отрыва от стола центр шара движется со скоростью $\vec{v}$, проекция которой на ось $X$ (см рис.) равна $| \vec{v} | \cos \alpha = \frac{2}{3} \sqrt{ \frac{2}{3} | \vec{g} | R }$, а на ось $Y$ - $| \vec{v} | \sin \alpha = \frac{1}{3} \sqrt{ \frac{10}{3} | \vec{g} |R }$. В дальнейшем шар движется как тело, брошенное под углом к горизонту с начальной скоростью $\vec{v}$. Координаты $x$ и $y$ центра шара меняются со временем так:
$x = | \vec{v} | t \cos \alpha = \frac{2}{3} t \sqrt{ \frac{2}{3} | \vec{g} |R }$,
$y = | \vec{v} | t \sin \alpha + \frac{ | \vec{g}t^{2} | }{2} = \frac{ \sqrt{5} }{3} t \sqrt{ \frac{2}{3} | \vec{g} |R } + \frac{| \vec{g} |t^{2} }{2}$
(мы считаем, что в начальный момент координата $y$ равна нулю, пренебрегая величиной $h = R \cos \alpha$). В тот момент, когда шар касается земли, $x = x_{max}, y = H$. Если это происходит через время $t_{0}$ от момента отрыва шара от стола, то
$H = \frac{ \sqrt{5} }{3} t_{0} \sqrt{ \frac{2}{3} | \vec{g} |R } + \frac{| \vec{g} |t_{0}^{2} }{2} $,
откуда
$t_{0} \approx \frac{1}{3g} \left ( 3 \sqrt{2 | \vec{g} |H } - \sqrt{ \frac{10}{3} | \vec{g} |R } \right )$.
Следовательно,
$x_{max} = \frac{2}{3}t_{0} \sqrt{ \frac{2}{3} | \vec{g} |R } \approx \frac{4}{3} \sqrt{ \frac{RH}{3} } - \frac{4}{27} R \sqrt{5}$.
На краю стола высоты $H$ стоит шар радиуса $R$, причем $R \ll H$. Шар начинает соскальзывать со стола без трения. На какая расстоянии от стола упадет шар?
Решение:
До тех пор, пока шар соскальзывает со стола, касаясь его в точке А, центр тяжести шара движется по окружности радиуса $R$ (расстояние между центром и точкой А все время равно $R$). При этом в каждый момент времени скорость центра тяжести (точки О) направлена перпендикулярно радиусу, проведенному в точку А: центростремительное ускорение точке О сообщают две силы - сила тяжести и сила реакции стола. В тот момент, когда шар отрывается от стола, сила реакции равна нулю. Значит, а этот момент Центростремительное ускорение точке О сообщает только сила тяжести.
Пусть в момент отрыва шар касается стола точкой Р (рис.), скорость точки О в этот момент равна $\vec{v}$. Согласно II закону Ньютона в этот момент (см. рис.)
$\frac{mv^{2}}{R} = m| \vec{g} | \cos \alpha$
($m$ - масса шара). Согласно закону сохранения энергии
$m | \vec{g} | R = \frac{mv^{2} }{2} + mgh = \frac{mv^{2} }{2} + m | \vec{g} | R \cos \alpha$.
Решая эти уравнения совместно, находим:
$\cos \alpha = \frac{2}{3}, | \vec{v} | = \sqrt{ \frac{2}{3} | \vec{g} | R }$.
Итак, в момент отрыва от стола центр шара движется со скоростью $\vec{v}$, проекция которой на ось $X$ (см рис.) равна $| \vec{v} | \cos \alpha = \frac{2}{3} \sqrt{ \frac{2}{3} | \vec{g} | R }$, а на ось $Y$ - $| \vec{v} | \sin \alpha = \frac{1}{3} \sqrt{ \frac{10}{3} | \vec{g} |R }$. В дальнейшем шар движется как тело, брошенное под углом к горизонту с начальной скоростью $\vec{v}$. Координаты $x$ и $y$ центра шара меняются со временем так:
$x = | \vec{v} | t \cos \alpha = \frac{2}{3} t \sqrt{ \frac{2}{3} | \vec{g} |R }$,
$y = | \vec{v} | t \sin \alpha + \frac{ | \vec{g}t^{2} | }{2} = \frac{ \sqrt{5} }{3} t \sqrt{ \frac{2}{3} | \vec{g} |R } + \frac{| \vec{g} |t^{2} }{2}$
(мы считаем, что в начальный момент координата $y$ равна нулю, пренебрегая величиной $h = R \cos \alpha$). В тот момент, когда шар касается земли, $x = x_{max}, y = H$. Если это происходит через время $t_{0}$ от момента отрыва шара от стола, то
$H = \frac{ \sqrt{5} }{3} t_{0} \sqrt{ \frac{2}{3} | \vec{g} |R } + \frac{| \vec{g} |t_{0}^{2} }{2} $,
откуда
$t_{0} \approx \frac{1}{3g} \left ( 3 \sqrt{2 | \vec{g} |H } - \sqrt{ \frac{10}{3} | \vec{g} |R } \right )$.
Следовательно,
$x_{max} = \frac{2}{3}t_{0} \sqrt{ \frac{2}{3} | \vec{g} |R } \approx \frac{4}{3} \sqrt{ \frac{RH}{3} } - \frac{4}{27} R \sqrt{5}$.
