Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1213
2016-10-20 
К проволочному каркасу К, имеющему вид окружности, прикрепили нить, которая связана из четырёх кусков А, B, С и D с длинами, относящимися друг к другу, как 1:2:1:3. Каркас окунули в мыльный раствор, вынули и, удерживая каркас в вертикальной плоскости, проткнули образовавшуюся мыльную плёнку между кусками нити В и D с длинами, относящимися как 2:3. Нить приняла форму, показанную на рисунке. Углы, образованные касательными к кускам нити вблизи узелков, все одинаковы и равны $120^{ \circ}$, а куски нити, прикреплённые к каркасу, вблизи узелков наклонены под углами $30^{ \circ}$ к горизонту. Расстояние между узелками $L = 4 см$, коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора $\sigma = 0,04 Н/м$. Мыльная плёнка настолько тонкая, что её массой можно пренебречь. Какова масса $M$ всей мокрой нити?
Решение:
Покажем, что суммарная сила, действующая на всю нить со стороны мыльной плёнки, равна нулю. Действительно, если бы на месте замкнутого нитяного кольца находилась мыльная плёнка, то она была бы в положении равновесия. По условию задачи массой мыльной плёнки можно пренебречь. Поэтому указанная суммарная сила и равна нулю.
Поскольку углы, образованные касательными к кускам нити вблизи узелков, равны $120^{ \circ}$, и сумма сил, действующих на каждый узелок, равна нулю, то силы натяжения всех кусков нити вблизи узелков одинаковы. Обозначим их величины через $F$. Силы натяжения наклонных кусков нити, прикреплённых к проволочному каркасу, вблизи узелков по условию составляют углы $30^{ \circ}$ с горизонтом (см. рис.). Поэтому их суммарная проекция на вертикаль равна $2F \sin 30^{ \circ} = F$. Эта проекция компенсирует силу тяжести, действующую на два куска нити между узелками.
Пусть общая длина нити равна $l$. Тогда куски нити, выгнутые вверх и вниз, имеют длины, равные, соответственно, $2l/7$ и $3l/7$, и массы $2M/7$ и $3M/7$. Поэтому масса кусков нити между узелками равна $5M/7$. Отсюда получаем, что $F = 5Mg/7$.
Каждый кусок нити находится в равновесии. Условие равновесия, например, куска нити длиной $2l/7$, выгнутого вверх, предполагает, что сумма всех сил, действующих на этот кусок, равна нулю. Докажем, что сила, действующая на этот кусок со стороны мыльной плёнки, равна $2 \sigma L$ и направлена вверх. Для этого мысленно соединим невесомым жёстким стержнем узелки нитей и натянем мыльную плёнку на площадку, ограниченную этим стержнем и верхним участком нитяного кольца. Стержень для поддержания его равновесия необходимо тянуть вниз с силой, равной $2 \sigma L$ (коэффициент 2 в формуле возникает потому, что у мыльной плёнки две поверхности).
Стержень, в свою очередь, с такой же силой действует на натянутый нами участок плёнки. Поскольку этот участок плёнки невесом, то плёнка ровно с такой же силой тянет верхний кусок нити вниз. На нить с двух сторон, сверху и снизу, действуют силы поверхностного натяжения плёнки, и их сумма равна нулю. Если вновь убрать мысленно натянутый участок плёнки, то сила, действовавшая с его стороны на нить, исчезнет. Останется только сила, действующая на кусок нити сверху и равная $2 \sigma L$ что и требовалось доказать.
Запишем условие равновесия данного куска нити. Вниз на него действуют сила тяжести $2Mg/7$, и сумма проекций сил натяжения, равная $2F \sin 30^{ \circ} = F$, а вверх — сила поверхностного натяжения, равная, как мы только что доказали, $2 \sigma L$. Поэтому $\frac{2Mg}{7} + F — 2 \sigma L = 0$.
Подставляя в это уравнение найденную выше величину $F = 5 Mg/7$, находим $M = 2 \sigma L/g \approx 0,32 г$.
К проволочному каркасу К, имеющему вид окружности, прикрепили нить, которая связана из четырёх кусков А, B, С и D с длинами, относящимися друг к другу, как 1:2:1:3. Каркас окунули в мыльный раствор, вынули и, удерживая каркас в вертикальной плоскости, проткнули образовавшуюся мыльную плёнку между кусками нити В и D с длинами, относящимися как 2:3. Нить приняла форму, показанную на рисунке. Углы, образованные касательными к кускам нити вблизи узелков, все одинаковы и равны $120^{ \circ}$, а куски нити, прикреплённые к каркасу, вблизи узелков наклонены под углами $30^{ \circ}$ к горизонту. Расстояние между узелками $L = 4 см$, коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора $\sigma = 0,04 Н/м$. Мыльная плёнка настолько тонкая, что её массой можно пренебречь. Какова масса $M$ всей мокрой нити?
Решение:
Покажем, что суммарная сила, действующая на всю нить со стороны мыльной плёнки, равна нулю. Действительно, если бы на месте замкнутого нитяного кольца находилась мыльная плёнка, то она была бы в положении равновесия. По условию задачи массой мыльной плёнки можно пренебречь. Поэтому указанная суммарная сила и равна нулю.
Поскольку углы, образованные касательными к кускам нити вблизи узелков, равны $120^{ \circ}$, и сумма сил, действующих на каждый узелок, равна нулю, то силы натяжения всех кусков нити вблизи узелков одинаковы. Обозначим их величины через $F$. Силы натяжения наклонных кусков нити, прикреплённых к проволочному каркасу, вблизи узелков по условию составляют углы $30^{ \circ}$ с горизонтом (см. рис.). Поэтому их суммарная проекция на вертикаль равна $2F \sin 30^{ \circ} = F$. Эта проекция компенсирует силу тяжести, действующую на два куска нити между узелками.
Пусть общая длина нити равна $l$. Тогда куски нити, выгнутые вверх и вниз, имеют длины, равные, соответственно, $2l/7$ и $3l/7$, и массы $2M/7$ и $3M/7$. Поэтому масса кусков нити между узелками равна $5M/7$. Отсюда получаем, что $F = 5Mg/7$.
Каждый кусок нити находится в равновесии. Условие равновесия, например, куска нити длиной $2l/7$, выгнутого вверх, предполагает, что сумма всех сил, действующих на этот кусок, равна нулю. Докажем, что сила, действующая на этот кусок со стороны мыльной плёнки, равна $2 \sigma L$ и направлена вверх. Для этого мысленно соединим невесомым жёстким стержнем узелки нитей и натянем мыльную плёнку на площадку, ограниченную этим стержнем и верхним участком нитяного кольца. Стержень для поддержания его равновесия необходимо тянуть вниз с силой, равной $2 \sigma L$ (коэффициент 2 в формуле возникает потому, что у мыльной плёнки две поверхности).
Стержень, в свою очередь, с такой же силой действует на натянутый нами участок плёнки. Поскольку этот участок плёнки невесом, то плёнка ровно с такой же силой тянет верхний кусок нити вниз. На нить с двух сторон, сверху и снизу, действуют силы поверхностного натяжения плёнки, и их сумма равна нулю. Если вновь убрать мысленно натянутый участок плёнки, то сила, действовавшая с его стороны на нить, исчезнет. Останется только сила, действующая на кусок нити сверху и равная $2 \sigma L$ что и требовалось доказать.
Запишем условие равновесия данного куска нити. Вниз на него действуют сила тяжести $2Mg/7$, и сумма проекций сил натяжения, равная $2F \sin 30^{ \circ} = F$, а вверх — сила поверхностного натяжения, равная, как мы только что доказали, $2 \sigma L$. Поэтому $\frac{2Mg}{7} + F — 2 \sigma L = 0$.
Подставляя в это уравнение найденную выше величину $F = 5 Mg/7$, находим $M = 2 \sigma L/g \approx 0,32 г$.
