Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12127
2019-12-17 
В цилиндрический конденсатор в точке А впускается слегка расходящийся пучок положительных ионов с малым углом раствора $\alpha$. (рис.). Все ионы в пучке имеют одинаковую энергию. Те ионы, у которых вектор скорости в точке А направлен перпендикулярно АО, движутся по окружности радиуса $AO = r_{0}$, концентрической с обкладками конденсатора. Доказать, что пучок ионов будет фокусироваться в точке В такой, что $\hat{AOB} = \frac{ \pi}{ \sqrt{2} }$. Определить максимальную ширину пучка.
Решение:
Для того чтобы можно было научить движение ионов, необходимо прежде всего выяснить, какая сила действует на ион в электростатическом поле цилиндрического конденсатора, то есть выяснить, какова напряженность электростатического поля конденсатора.
Напряженность поля пропорциональна плотности силовых линий. Если через дугу с единичным углом проходит $n$ силовых линий, то через дугу с углом $\phi$ проходит $N = n \phi$ силовых линий. Плотность силовых линий, пересекающих дугу радиуса $r$, равна отношению числа $N$ к длине $r \phi$ дуги, то есть равна $\frac{n}{r}$ (рис.).
Следовательно, напряженность поля конденсатора пропорциональна $\frac{1}{r}$:
$E = \frac{b}{r}, b = const$.
В таком поле на заряд $q$, находящийся на расстоянии $r$ от оси конденсатора, действует сила $\vec{F}$ такая, что
$| \vec{F} | = \frac{bq}{r}$.
Эта сила сообщает заряду ускорение $\vec{a}$, равное но модулю
$| \vec{a} | = \frac{bq}{rm}$,
где $m$ - масса заряда.
Обозначим $x$ отклонение иона от основной траектории радиуса $r_{0}$ (эта траектория показана на рисунке красной линией). Тогда $r = r_{0} + x$, и
$| \vec{a} | = \frac{bq}{m(r_{0} + x )}$.
Рассмотрим движение этого иона в системе отсчета, вращающейся вокруг оси конденсатора так, что угловая скорость ее в каждый момент равна угловой скорости $\omega$ отклонившегося иона. В этой системе ускорение уже не равно $\vec{a}$, так как все точки системы тоже движутся с некоторым ускорением относительно неподвижной системы отсчета, связанной с осью конденсатора. Точка, находящаяся на расстоянии $r_{0} + x$ от оси, движется с центростремительным ускорением $| \vec{a}_{ц} | = \omega^{2} (r_{0} + x)$.
Следовательно, во вращающейся системе отсчета ускорение иона равно
$| \vec{a}_{отн} | = - | \vec{a} | + | \vec{a}_{ц} | = - \frac{bq}{m(r_{0} + x )} + \omega^{2}(r_{0} + x)$.
Из закона сохранения момента импульса следует, что
$m(r_{0} + x)^{2} \omega = mr_{0}^{2} \omega_{0}$,
где $\omega_{0}$ - угловая скорость иона и точке А. Она же равна и угловой скорости иона, движущегося по "красной" траектории. Но центростремительное ускорение $ | \vec{a}_{0} | = \omega_{0}^{2}r_{0}$ иону, движущемуся по "красной" траектории радиуса $r_{0}$, сообщает сила $\vec{F}$, равная по модулю $\frac{bq}{r_{0} }$, поэтому
$\omega_{0}^{2}r_{0} = \frac{bq}{mr_{0} }$, и $\omega_{0}^{2} = \frac{bq}{mr_{0}^{2} }$.
Таким образом,
$| \vec{a}_{отн} | = - \frac{bq}{m(r_{0} + x )} + \frac{bq}{mr_{0}^{2} }(r_{0} + x ) \frac{r_{0}^{4} }{(r_{0} + x )^{4} } = \frac{bq | r_{0}^{2} - (r_{0} + x )^{2} | }{m(r_{0} + x )^{3} } = \frac{bq(-2r_{0}x - x^{2} ) }{m(r_{0} + x )^{3} }$.
При $x \ll r_{0}$
$| \vec{a}_{отн} | = - 2 \frac{bq}{mr_{0}^{2} } x$.
Мы видим, что
$m | \vec{a}_{отн} | = - kx$, где $k = 2 \frac{bq}{r_{0}^{2} }$.
Как известно, при такой зависимости ускорения тела от смещения тело совершает гармонические колебания с периодом $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k}}$. Следовательно, ионы пучка, скорость которых в точке А составляет малый угол $\alpha$ со скоростью ионов, движущихся по основной траектории, будут совершать относительно основной траектории радиальные гармонические колебания с периодом
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{mr_{0}^{2} }{2bq} }$.
Этот период одинаков для всех ионов. Значит, после того как ионы попадают в конденсатор в точке А через времена $t_{n} = n \frac{T}{2}$ ($n = 1, 2, 3, \cdots$), все ноны будут оказываться и одной и той же точке основной траектории - будут фокусироваться. Нетрудно найти угол $\phi_{0}$ между двумя последовательными фокусами:
$\phi_{0} - \omega_{0}t - \omega_{0} \frac{T}{2} = \sqrt{ \frac{bq}{mr_{0}^{2} } } \pi \sqrt{ \frac{mr_{0}^{2} }{2bq} } = \frac{ \pi}{ \sqrt{2} }$.
Таким образом, если $\hat{AOB} = \frac{ \pi}{ \sqrt{2} }$, то ионы будут фокусироваться в точке В.
Найдем теперь максимальную ширину пучка. Для этого воспользуемся тем, что максимальное абсолютное значение скорости тела, совершающего гармонические колебания, и амплитуда $x_{max}$ его колебаний связаны соотношением
$| \vec{v} |_{max} = x_{max} \Omega$,
где $\Omega = \frac{2 \pi }{T}$ - частота колебаний. В нашем случае $| \vec{v}|_{max}$ равно значению радиальной проекции скорости в точке А иона (pис.):
$| \vec{v} |_{max} = | \vec{v}_{0} | \sin \frac{ \alpha}{2} = \omega r_{0} \sin \frac{ \alpha}{2} \approx \frac{1}{2} \omega r_{0} \alpha$
(так как $\alpha$ мало, $\sin \frac{ \alpha}{2} \approx \frac{ \alpha}{2}$). Поэтому
$\frac{1}{2} \omega r_{0} \alpha = x_{max} \frac{2 \pi}{T}$.
Следовательно, максимальная ширина $d$ пучка равна
$d = 2x_{max} = \frac{ \omega r_{0} \alpha T }{2 \pi} = \frac{r_{0} \alpha }{ \sqrt{2} }$.
В цилиндрический конденсатор в точке А впускается слегка расходящийся пучок положительных ионов с малым углом раствора $\alpha$. (рис.). Все ионы в пучке имеют одинаковую энергию. Те ионы, у которых вектор скорости в точке А направлен перпендикулярно АО, движутся по окружности радиуса $AO = r_{0}$, концентрической с обкладками конденсатора. Доказать, что пучок ионов будет фокусироваться в точке В такой, что $\hat{AOB} = \frac{ \pi}{ \sqrt{2} }$. Определить максимальную ширину пучка.
Решение:
Для того чтобы можно было научить движение ионов, необходимо прежде всего выяснить, какая сила действует на ион в электростатическом поле цилиндрического конденсатора, то есть выяснить, какова напряженность электростатического поля конденсатора.
Напряженность поля пропорциональна плотности силовых линий. Если через дугу с единичным углом проходит $n$ силовых линий, то через дугу с углом $\phi$ проходит $N = n \phi$ силовых линий. Плотность силовых линий, пересекающих дугу радиуса $r$, равна отношению числа $N$ к длине $r \phi$ дуги, то есть равна $\frac{n}{r}$ (рис.).
Следовательно, напряженность поля конденсатора пропорциональна $\frac{1}{r}$:
$E = \frac{b}{r}, b = const$.
В таком поле на заряд $q$, находящийся на расстоянии $r$ от оси конденсатора, действует сила $\vec{F}$ такая, что
$| \vec{F} | = \frac{bq}{r}$.
Эта сила сообщает заряду ускорение $\vec{a}$, равное но модулю
$| \vec{a} | = \frac{bq}{rm}$,
где $m$ - масса заряда.
Обозначим $x$ отклонение иона от основной траектории радиуса $r_{0}$ (эта траектория показана на рисунке красной линией). Тогда $r = r_{0} + x$, и
$| \vec{a} | = \frac{bq}{m(r_{0} + x )}$.
Рассмотрим движение этого иона в системе отсчета, вращающейся вокруг оси конденсатора так, что угловая скорость ее в каждый момент равна угловой скорости $\omega$ отклонившегося иона. В этой системе ускорение уже не равно $\vec{a}$, так как все точки системы тоже движутся с некоторым ускорением относительно неподвижной системы отсчета, связанной с осью конденсатора. Точка, находящаяся на расстоянии $r_{0} + x$ от оси, движется с центростремительным ускорением $| \vec{a}_{ц} | = \omega^{2} (r_{0} + x)$.
Следовательно, во вращающейся системе отсчета ускорение иона равно
$| \vec{a}_{отн} | = - | \vec{a} | + | \vec{a}_{ц} | = - \frac{bq}{m(r_{0} + x )} + \omega^{2}(r_{0} + x)$.
Из закона сохранения момента импульса следует, что
$m(r_{0} + x)^{2} \omega = mr_{0}^{2} \omega_{0}$,
где $\omega_{0}$ - угловая скорость иона и точке А. Она же равна и угловой скорости иона, движущегося по "красной" траектории. Но центростремительное ускорение $ | \vec{a}_{0} | = \omega_{0}^{2}r_{0}$ иону, движущемуся по "красной" траектории радиуса $r_{0}$, сообщает сила $\vec{F}$, равная по модулю $\frac{bq}{r_{0} }$, поэтому
$\omega_{0}^{2}r_{0} = \frac{bq}{mr_{0} }$, и $\omega_{0}^{2} = \frac{bq}{mr_{0}^{2} }$.
Таким образом,
$| \vec{a}_{отн} | = - \frac{bq}{m(r_{0} + x )} + \frac{bq}{mr_{0}^{2} }(r_{0} + x ) \frac{r_{0}^{4} }{(r_{0} + x )^{4} } = \frac{bq | r_{0}^{2} - (r_{0} + x )^{2} | }{m(r_{0} + x )^{3} } = \frac{bq(-2r_{0}x - x^{2} ) }{m(r_{0} + x )^{3} }$.
При $x \ll r_{0}$
$| \vec{a}_{отн} | = - 2 \frac{bq}{mr_{0}^{2} } x$.
Мы видим, что
$m | \vec{a}_{отн} | = - kx$, где $k = 2 \frac{bq}{r_{0}^{2} }$.
Как известно, при такой зависимости ускорения тела от смещения тело совершает гармонические колебания с периодом $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k}}$. Следовательно, ионы пучка, скорость которых в точке А составляет малый угол $\alpha$ со скоростью ионов, движущихся по основной траектории, будут совершать относительно основной траектории радиальные гармонические колебания с периодом
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{mr_{0}^{2} }{2bq} }$.
Этот период одинаков для всех ионов. Значит, после того как ионы попадают в конденсатор в точке А через времена $t_{n} = n \frac{T}{2}$ ($n = 1, 2, 3, \cdots$), все ноны будут оказываться и одной и той же точке основной траектории - будут фокусироваться. Нетрудно найти угол $\phi_{0}$ между двумя последовательными фокусами:
$\phi_{0} - \omega_{0}t - \omega_{0} \frac{T}{2} = \sqrt{ \frac{bq}{mr_{0}^{2} } } \pi \sqrt{ \frac{mr_{0}^{2} }{2bq} } = \frac{ \pi}{ \sqrt{2} }$.
Таким образом, если $\hat{AOB} = \frac{ \pi}{ \sqrt{2} }$, то ионы будут фокусироваться в точке В.
Найдем теперь максимальную ширину пучка. Для этого воспользуемся тем, что максимальное абсолютное значение скорости тела, совершающего гармонические колебания, и амплитуда $x_{max}$ его колебаний связаны соотношением
$| \vec{v} |_{max} = x_{max} \Omega$,
где $\Omega = \frac{2 \pi }{T}$ - частота колебаний. В нашем случае $| \vec{v}|_{max}$ равно значению радиальной проекции скорости в точке А иона (pис.):
$| \vec{v} |_{max} = | \vec{v}_{0} | \sin \frac{ \alpha}{2} = \omega r_{0} \sin \frac{ \alpha}{2} \approx \frac{1}{2} \omega r_{0} \alpha$
(так как $\alpha$ мало, $\sin \frac{ \alpha}{2} \approx \frac{ \alpha}{2}$). Поэтому
$\frac{1}{2} \omega r_{0} \alpha = x_{max} \frac{2 \pi}{T}$.
Следовательно, максимальная ширина $d$ пучка равна
$d = 2x_{max} = \frac{ \omega r_{0} \alpha T }{2 \pi} = \frac{r_{0} \alpha }{ \sqrt{2} }$.
