Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12126
2019-12-17 
Три несмешивающиеся жидкости с плотностями $\rho_{1}, \rho_{2}$ и $\rho_{3}$ заполняют замкнутую тонкую цилиндрическую трубку, образующую кольцо, плоскость которого вертикальна (рис.). Жидкость с плотностью $\rho_{1}$ заполняет дугу кольца с углом $\alpha_{1}$, жидкость с плотностью $\rho_{2}$ - дугу с углом $\alpha_{2}$. Какой угол $\alpha$ образует с вертикалью радиус кольца, проведенный к границе этих жидкостей? Поверхностными эффектами пренебречь.
Решение:
Давление внутри трубки в точках А и В одинаково; одинаково н Давление в точках С и D. Это означает, что
$\rho_{1}gh_{1} = \rho_{2}gh_{2} + \rho_{3}gh_{3}$.
Но $h_{3} = h_{1} - h_{2}$. Используя это соотношение, получим
$( \rho_{1} - \rho_{3}) h_{1} = ( \rho_{2} - \rho_{3}) h_{2}$. (1)
Из рисунка видно: $h_{1} = R \cos \alpha + R \cos ( \pi - \alpha - \alpha_{1}) = R ( \cos \alpha - \cos ( \alpha + \alpha_{1} ))$ и $h_{2} = R \cos \alpha - R \cos ( \alpha_{2} - \alpha )$, где $R$ - радиус кольца. Подставляя эти выражения для $h_{1}$ и $h_{2}$ в равенство (1), найдем
$( \rho_{1} - \rho_{3} )( \cos \alpha - \cos \alpha \cos \alpha_{1} + \sin \alpha \sin \alpha_{1} ) = ( \rho_{2} - \rho_{3} )( \cos \alpha - \cos \alpha_{2} \cos \alpha - \sin \alpha_{2} \sin \alpha )$,
или
$( \rho_{1} - \rho_{3})(1 - \cos \alpha_{1} + \sin \alpha_{1} tg \alpha) = ( \rho_{2} - \rho_{3} ) (1 - \cos \alpha_{2} - \sin \alpha_{2} tg \alpha )$.
Решая это уравнение, найдем
$tg \alpha = \frac{ ( \rho_{1} - \rho_{3} )(1 - \cos \alpha_{1}) - ( \rho_{2} - \rho_{3} )(1 - \cos \alpha_{2} ) }{ ( \rho_{1} - \rho_{3} ) \sin \alpha_{1} + ( \rho_{2} - \rho_{3} ) \sin \alpha_{2} }$.
Три несмешивающиеся жидкости с плотностями $\rho_{1}, \rho_{2}$ и $\rho_{3}$ заполняют замкнутую тонкую цилиндрическую трубку, образующую кольцо, плоскость которого вертикальна (рис.). Жидкость с плотностью $\rho_{1}$ заполняет дугу кольца с углом $\alpha_{1}$, жидкость с плотностью $\rho_{2}$ - дугу с углом $\alpha_{2}$. Какой угол $\alpha$ образует с вертикалью радиус кольца, проведенный к границе этих жидкостей? Поверхностными эффектами пренебречь.
Решение:
Давление внутри трубки в точках А и В одинаково; одинаково н Давление в точках С и D. Это означает, что
$\rho_{1}gh_{1} = \rho_{2}gh_{2} + \rho_{3}gh_{3}$.
Но $h_{3} = h_{1} - h_{2}$. Используя это соотношение, получим
$( \rho_{1} - \rho_{3}) h_{1} = ( \rho_{2} - \rho_{3}) h_{2}$. (1)
Из рисунка видно: $h_{1} = R \cos \alpha + R \cos ( \pi - \alpha - \alpha_{1}) = R ( \cos \alpha - \cos ( \alpha + \alpha_{1} ))$ и $h_{2} = R \cos \alpha - R \cos ( \alpha_{2} - \alpha )$, где $R$ - радиус кольца. Подставляя эти выражения для $h_{1}$ и $h_{2}$ в равенство (1), найдем
$( \rho_{1} - \rho_{3} )( \cos \alpha - \cos \alpha \cos \alpha_{1} + \sin \alpha \sin \alpha_{1} ) = ( \rho_{2} - \rho_{3} )( \cos \alpha - \cos \alpha_{2} \cos \alpha - \sin \alpha_{2} \sin \alpha )$,
или
$( \rho_{1} - \rho_{3})(1 - \cos \alpha_{1} + \sin \alpha_{1} tg \alpha) = ( \rho_{2} - \rho_{3} ) (1 - \cos \alpha_{2} - \sin \alpha_{2} tg \alpha )$.
Решая это уравнение, найдем
$tg \alpha = \frac{ ( \rho_{1} - \rho_{3} )(1 - \cos \alpha_{1}) - ( \rho_{2} - \rho_{3} )(1 - \cos \alpha_{2} ) }{ ( \rho_{1} - \rho_{3} ) \sin \alpha_{1} + ( \rho_{2} - \rho_{3} ) \sin \alpha_{2} }$.
