Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12121
2019-12-17 
На рисунке изображена схема масс-спектрометра. В ионизаторе А образуются ионы, которые ускоряются напряжением $U = 10 кВ$ и входят через щель С в магнитное поле с индукцией $| \vec{B} | = 0,1 Т$. После поворота ионы попадают на фотографическую пластинку D и вызывают ее почернение. На каком расстоянии, друг от друга будут находиться на пластинке полосы ионов $H^{+}, ^{2}H^{+}, ^{3}H^{+}, He^{+}$? Какова должна быть ширина щели, чтобы полосы ионов $^{16}O^{+}$ и $^{15}N^{+}$ разделились?
Решение:
Ускоряясь электрическим полем, ноны приобретают кинетическую энергию
$\frac{mv^{2}}{2} = qU$,
где $m$ - масса иона и $q$ - его заряд. Следовательно, в камеру масс-спектрометра ноны попадают со скоростью
$| \vec{v} | = \sqrt{ \frac{2qU}{m} }$.
В этой камере на ноны действует сила Лоренца
$| \vec{F} | = | \vec{v} | | \vec{B} | q$,
благодаря чему ионы движутся по окружности радиуса $R$. Согласно второму закону Ньютона
$\frac{mv^{2} }{R} = | \vec{v} | | \vec{B} |q$,
откуда
$R = \frac{m | \vec{v} | }{ | \vec{B} |q } = \frac{1}{ | \vec{B} | } \sqrt{ \frac{2mU}{q} }$.
Ионы одного сорта собираются на фотопластинке на расстоянии $l = 2R$ от щели. Расстояние между следами ионов с одинаковыми зарядами $q$, но разными массами $m_{1}$ и $m_{2}$ равно
$\Delta l = 2 \Delta R = \frac{2}{ | \vec{B} | } \sqrt{ \frac{2U}{q} } ( \sqrt{m_{2} } - \sqrt{m_{1} } )$.
Так, для ионов $H^{+}$ и $^{2}H^{+}$
$\Delta l = \frac{2}{ | \vec{B} | } \sqrt{ \frac{2U}{q} } ( \sqrt{2m_{p} } - \sqrt{m_{p} } ) \approx 0,12 м$.
где $q = 1,6 \cdot 10^{-19} Кл$ - заряд одновалентных конов, $m_{p} = 1,67 \cdot 10^{-27} кг$ - масса протона.
Для ионов $^{2}H^{+}$ и $^{3}H^{+}$
$\Delta l = \frac{2}{| \vec{B} |} \sqrt{ \frac{2U}{q} } ( \sqrt{3m_{p} } - \sqrt{2m_{p} } ) \approx 0,09 м$,
а для $^{3}H^{+}$ и $He^{+}$
$\Delta l = \frac{2}{ | \vec{B} | } \sqrt{ \frac{2U}{q} } ( \sqrt{4m_{p} } - \sqrt{3m_{p} } ) \approx 0,08 м$.
Очевидно, что следы ионов на фотопластинке не будут перекрываться, если ширина щели $d$ будет меньше $\Delta l$. В частности, для ионов $^{16}O^{+}$ и $^{15}N^{+}$
$d < \frac{2}{ | \vec{B} | } \sqrt{ \frac{2U}{q} } ( \sqrt{16m_{p} } - \sqrt{15m_{p} } ) \approx 0,04 м$.
На рисунке изображена схема масс-спектрометра. В ионизаторе А образуются ионы, которые ускоряются напряжением $U = 10 кВ$ и входят через щель С в магнитное поле с индукцией $| \vec{B} | = 0,1 Т$. После поворота ионы попадают на фотографическую пластинку D и вызывают ее почернение. На каком расстоянии, друг от друга будут находиться на пластинке полосы ионов $H^{+}, ^{2}H^{+}, ^{3}H^{+}, He^{+}$? Какова должна быть ширина щели, чтобы полосы ионов $^{16}O^{+}$ и $^{15}N^{+}$ разделились?
Решение:
Ускоряясь электрическим полем, ноны приобретают кинетическую энергию
$\frac{mv^{2}}{2} = qU$,
где $m$ - масса иона и $q$ - его заряд. Следовательно, в камеру масс-спектрометра ноны попадают со скоростью
$| \vec{v} | = \sqrt{ \frac{2qU}{m} }$.
В этой камере на ноны действует сила Лоренца
$| \vec{F} | = | \vec{v} | | \vec{B} | q$,
благодаря чему ионы движутся по окружности радиуса $R$. Согласно второму закону Ньютона
$\frac{mv^{2} }{R} = | \vec{v} | | \vec{B} |q$,
откуда
$R = \frac{m | \vec{v} | }{ | \vec{B} |q } = \frac{1}{ | \vec{B} | } \sqrt{ \frac{2mU}{q} }$.
Ионы одного сорта собираются на фотопластинке на расстоянии $l = 2R$ от щели. Расстояние между следами ионов с одинаковыми зарядами $q$, но разными массами $m_{1}$ и $m_{2}$ равно
$\Delta l = 2 \Delta R = \frac{2}{ | \vec{B} | } \sqrt{ \frac{2U}{q} } ( \sqrt{m_{2} } - \sqrt{m_{1} } )$.
Так, для ионов $H^{+}$ и $^{2}H^{+}$
$\Delta l = \frac{2}{ | \vec{B} | } \sqrt{ \frac{2U}{q} } ( \sqrt{2m_{p} } - \sqrt{m_{p} } ) \approx 0,12 м$.
где $q = 1,6 \cdot 10^{-19} Кл$ - заряд одновалентных конов, $m_{p} = 1,67 \cdot 10^{-27} кг$ - масса протона.
Для ионов $^{2}H^{+}$ и $^{3}H^{+}$
$\Delta l = \frac{2}{| \vec{B} |} \sqrt{ \frac{2U}{q} } ( \sqrt{3m_{p} } - \sqrt{2m_{p} } ) \approx 0,09 м$,
а для $^{3}H^{+}$ и $He^{+}$
$\Delta l = \frac{2}{ | \vec{B} | } \sqrt{ \frac{2U}{q} } ( \sqrt{4m_{p} } - \sqrt{3m_{p} } ) \approx 0,08 м$.
Очевидно, что следы ионов на фотопластинке не будут перекрываться, если ширина щели $d$ будет меньше $\Delta l$. В частности, для ионов $^{16}O^{+}$ и $^{15}N^{+}$
$d < \frac{2}{ | \vec{B} | } \sqrt{ \frac{2U}{q} } ( \sqrt{16m_{p} } - \sqrt{15m_{p} } ) \approx 0,04 м$.
