ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-12-17   
Чему равен период малых колебаний четырех одинаково заряженных тел. Связанных одинаковыми нитями длины $l$ так, как показано на рисунке? На рисунке стрелками указаны направления движения тел при колебаниях в один и тот же момент времени. Масса и заряд каждого тела равны соответственно $m$ и $q$.



Решение:


Рассмотрим простейший пружинный маятник: груз массы $M$, скрепленный с пружиной жесткости $k$. При колебаниях такого маятника выполняется закон сохранения энергии:

$\frac{Mv^{2} }{2} + \frac{kx^{2}}{2} = const$, (1)

где $\vec{v}$ - скорость, а $x$ - смешение груза. Период таких колебаний

$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{M}{k} }$. (2)

Сравнивая выражения (1) и (2), нетрудно заметить, что под квадратным корнем стоит отншение коэффициентов при квадрате скорости и квадрате смещения груза. Воспользуемся этим для нахождения периода колебаний системы, изображенной на рисунке.

Обозначим через $\vec{v}$ и $- \vec{v}$ скорости удаляющихся друг от друга зарядов, а через $\vec{u}$ и $- \vec{u}$ - скорости приближающихся друг к другу зарядов. Так как нить нерастяжима, для проекций скоростей на нить выполняется равенство:

$| \vec{v} | \cos \alpha = | \vec{u} | \sin \alpha$, или $| \vec{u} | = | \vec{v} | ctg \alpha$.

При малых смещениях зарядов от положения равновесия угол $\alpha \approx 45^{ \circ}, ctg \alpha \approx 1$, поэтому $| \vec{u} | \approx | \vec{v} |$. Так что кинетическая энергия системы равна

$2 \frac{mv^{2} }{2} + 2 \frac{mu^{2} }{2} \approx 2 mv^{2}$.

Потенциальная энергия системы равна работе, которую необходимо затратить для создания системы, то есть для перенесения зарядов $q$ из бесконечности в данные положения.


Пусть заряды 1 и 3 смещены от положения равновесия на малое расстояние $x$ (рис.). При этом заряды 2 и 4 смещены на расстояние $y$ такое, что

$\left ( \frac{l}{ \sqrt{2} } + x \right )^{2} + \left ( \frac{l}{ \sqrt{2} } - y \right )^{2} = l^{2}$ (3)

(поскольку длина нити $l$ не изменяется).

При перенесении первого заряда работа не совершается, так как электрического поля нет; при перемещении второго заряда в поле первого совершается работа

$A_{1} = \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} l }$.

Для внесения третьего заряда против поля, созданного первыми двумя зарядами, надо совершить работу

$A_{2} = \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} l } + \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} ( \sqrt{2}l + 2x) }$;

и при внесении четвертого заряда совершается работа

$A_{3} = 2 \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}l } + \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} ( \sqrt{2}l - 2y ) }$.

Таким образом, потенциальная энергия системы равна

$A_{1} + A_{2} + A_{3} \approx \frac{q^{2} }{ \pi \epsilon_{0}l } \left ( 1 + \frac{1}{ \sqrt{2} } \right ) + \frac{3q^{2}x^{2} }{2 \sqrt{2} \pi \epsilon_{0} l^{3} }$

(здесь мы воспользовались связью между $x$ и $y$, задаваемой формулой (3)).

Полная энергия системы складывается из кинетической и потенциальной энергий и с течением времени не изменяется:

$2mv^{2} + \frac{q^{2} }{ \pi \epsilon_{0}l } \left ( 1 + \frac{1}{ 2 \sqrt{2} } \right ) + \frac{3q^{2}x^{2} }{2 \sqrt{2} \pi \epsilon_{0}l^{3} } = const$.

Перенося постоянные слагаемые в правую часть равенства. Получим

$2mv^{2} + \frac{3q^{2}x^{2} }{2 \sqrt{2} \pi \epsilon_{0} l^{3} } = const$. (4)

Если ввести обозначения $4m = M$ и $\frac{3q^{2} }{ \sqrt{2} \pi \epsilon_{0} l^{3} } = k$, выражения (4) и (1) совпадут. Это означает, что мы свели колебания системы к колебаниям пружинного маятника. Следовательно, период колебаний системы равен

$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{M}{k} } = 4 \pi \frac{l}{q} \sqrt{ \frac{ \sqrt{2} \pi \epsilon_{0} ml }{3} }$.