Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1212
2016-10-20 
На вертикальной стене шарнирно закреплён однородный тонкий стержень массой $m$ и длиной $L$. На высоте $L$ вертикально над местом закрепления стержня к стене прикреплена тонкая невесомая нерастяжимая нить, второй конец которой прикреплён к свободному концу стержня (см. рисунок). Между стеной, стержнем и нитью натянута тонкая невесомая плёнка жидкости, коэффициент поверхностного натяжения которой равен $\sigma$. Стержень находится в состоянии равновесия и расположен горизонтально. Найдите длину нити $l$, считая, что она меньше $\pi L/2$.
Решение:
рис. 1
рис. 2
Невесомая нить, ограничивающая плоскую невесомую плёнку жидкости, должна иметь форму дуги окружности. Если эта дуга касается стены и стержня (см. рис. 1), то есть углы между ними и нитью равны нулю, то длина дуги, очевидно, не может быть меньше $\frac{ \pi}{2} \cdot L$. Значит, этот вариант примыкания нити к стене и стержню не удовлетворяет условию задачи, и нить должна составлять со стеной и стержнем в точках закрепления её концов ненулевые и одинаковые углы $\alpha$ (см. рис. 2).
Выяснив, как выглядит плёнка, перейдём к нахождению длины нити. Так как плёнка имеет две поверхности, то сила поверхностного натяжения, действующая с её стороны на стержень, равна $2 \sigma L$. Так как стержень неподвижен, то сумма моментов действующих на него сил должна быть равна нулю:
$mg \cdot \frac{L}{2} - 2 \sigma L \cdot \frac{L}{2} - TK \sin \alpha = 0$.
Здесь $T$ — сила натяжения нити. Выразим её из записанного уравнения:
$T = \frac{mg - 2 \sigma L}{2 \sin \alpha}$.
Заметим, что для равновесия стержня в горизонтальном положении необходимо выполнение условия$mg > 2 \sigma L$.
Далее, сумма вертикальных составляющих сил, действующих на всю систему со стороны стены, очевидно, равна $mg$. Вертикальная составляющая силы, действующей со стороны стены на нить, равна $T \cos \alpha$. Значит, вертикальная составляющая силы, действующей со стороны стены на стержень, равна $mg — T \cos \alpha$ (она приложена к точке крепления стержня к шарниру). С учётом этого обстоятельства, запишем условие равенства нулю суммы вертикальных составляющих сил, действующих на стержень:
$mg — (mg — T \cos \alpha ) — 2 \sigma L — T \sin \alpha = 0$.
Отсюда, привлекая выражение для $T$, получим:
$tg \alpha = \frac{mg - 2 \sigma L}{mg + 2 \sigma L}$.
Обозначим шарнир буквой $A$, точку крепления нити к стержню - $B$, центр окружности, дугу которой образует нить — $C$. Тогда
$\angle CAB = \frac{ \pi}{4}$ (из соображений симметрии),
$\angle ACB = \beta = \pi - \frac{ \pi}{4} - \left ( \frac{ \pi }{2} + \alpha \right ) = \frac{ \pi }{4} - \alpha$,
и по теореме синусов:
$\frac{R}{ \sin \pi / 4} = \frac{L}{ \sin \beta}$,
где $R$ — радиус окружности. Отсюда:
$R = \frac{L \sin \pi /4}{ \sin (( \pi / 4) - \alpha)} = \frac{L}{ \sqrt{2} \sin \left ( \frac{ \pi}{4} - arctg \frac{mg - 2 \sigma L}{mg + 2 \sigma L} \right )}$.
Наконец, в соответствии с определением радианной меры угла, $2 \beta = \frac{l}{R}$, где $l$ — искомая длина нити. В итоге получаем:
$l = 2 R \beta = \sqrt{2} \frac{ \frac{ \pi}{4} - arctg \frac{mg - 2 \sigma L}{mg + 2 \sigma L}}{ \sin \left ( \frac{ \pi}{4} - arctg \frac{mg - 2 \sigma L}{ mg + 2 \sigma L} \right )} L$.
Это выражение можно упростить, устранив в знаменателе композицию прямой и обратной тригонометрических функций.
На вертикальной стене шарнирно закреплён однородный тонкий стержень массой $m$ и длиной $L$. На высоте $L$ вертикально над местом закрепления стержня к стене прикреплена тонкая невесомая нерастяжимая нить, второй конец которой прикреплён к свободному концу стержня (см. рисунок). Между стеной, стержнем и нитью натянута тонкая невесомая плёнка жидкости, коэффициент поверхностного натяжения которой равен $\sigma$. Стержень находится в состоянии равновесия и расположен горизонтально. Найдите длину нити $l$, считая, что она меньше $\pi L/2$.
Решение:
рис. 1
рис. 2
Невесомая нить, ограничивающая плоскую невесомую плёнку жидкости, должна иметь форму дуги окружности. Если эта дуга касается стены и стержня (см. рис. 1), то есть углы между ними и нитью равны нулю, то длина дуги, очевидно, не может быть меньше $\frac{ \pi}{2} \cdot L$. Значит, этот вариант примыкания нити к стене и стержню не удовлетворяет условию задачи, и нить должна составлять со стеной и стержнем в точках закрепления её концов ненулевые и одинаковые углы $\alpha$ (см. рис. 2).
Выяснив, как выглядит плёнка, перейдём к нахождению длины нити. Так как плёнка имеет две поверхности, то сила поверхностного натяжения, действующая с её стороны на стержень, равна $2 \sigma L$. Так как стержень неподвижен, то сумма моментов действующих на него сил должна быть равна нулю:
$mg \cdot \frac{L}{2} - 2 \sigma L \cdot \frac{L}{2} - TK \sin \alpha = 0$.
Здесь $T$ — сила натяжения нити. Выразим её из записанного уравнения:
$T = \frac{mg - 2 \sigma L}{2 \sin \alpha}$.
Заметим, что для равновесия стержня в горизонтальном положении необходимо выполнение условия$mg > 2 \sigma L$.
Далее, сумма вертикальных составляющих сил, действующих на всю систему со стороны стены, очевидно, равна $mg$. Вертикальная составляющая силы, действующей со стороны стены на нить, равна $T \cos \alpha$. Значит, вертикальная составляющая силы, действующей со стороны стены на стержень, равна $mg — T \cos \alpha$ (она приложена к точке крепления стержня к шарниру). С учётом этого обстоятельства, запишем условие равенства нулю суммы вертикальных составляющих сил, действующих на стержень:
$mg — (mg — T \cos \alpha ) — 2 \sigma L — T \sin \alpha = 0$.
Отсюда, привлекая выражение для $T$, получим:
$tg \alpha = \frac{mg - 2 \sigma L}{mg + 2 \sigma L}$.
Обозначим шарнир буквой $A$, точку крепления нити к стержню - $B$, центр окружности, дугу которой образует нить — $C$. Тогда
$\angle CAB = \frac{ \pi}{4}$ (из соображений симметрии),
$\angle ACB = \beta = \pi - \frac{ \pi}{4} - \left ( \frac{ \pi }{2} + \alpha \right ) = \frac{ \pi }{4} - \alpha$,
и по теореме синусов:
$\frac{R}{ \sin \pi / 4} = \frac{L}{ \sin \beta}$,
где $R$ — радиус окружности. Отсюда:
$R = \frac{L \sin \pi /4}{ \sin (( \pi / 4) - \alpha)} = \frac{L}{ \sqrt{2} \sin \left ( \frac{ \pi}{4} - arctg \frac{mg - 2 \sigma L}{mg + 2 \sigma L} \right )}$.
Наконец, в соответствии с определением радианной меры угла, $2 \beta = \frac{l}{R}$, где $l$ — искомая длина нити. В итоге получаем:
$l = 2 R \beta = \sqrt{2} \frac{ \frac{ \pi}{4} - arctg \frac{mg - 2 \sigma L}{mg + 2 \sigma L}}{ \sin \left ( \frac{ \pi}{4} - arctg \frac{mg - 2 \sigma L}{ mg + 2 \sigma L} \right )} L$.
Это выражение можно упростить, устранив в знаменателе композицию прямой и обратной тригонометрических функций.
