Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12119
2019-12-17 
Внутри диэлектрического шара радиуса $R_{0}$, равномерно заряженного с объемной плотностью $\rho$ находится заземленная металлическая сфера радиуса $r$ (рис.). Найдите зависимость потенциала электростатического поля этой системы от расстояния до центра сферы.
Решение:
Согласно принципу суперпозиции, напряженность электростатического поля системы равна сумме напряженностей полей, создаваемых зарядами шара и сферы. Аналогично и потенциал поля в каждой точке равен сумме потенциалов полей зарядов сферы и шара.
Обозначим заряд заземленной металлической сферы через $q$ (позже найдем его значение); очевидно, что $q < 0$. Этот заряд вне сферы (при $R \geq r$) создаст поле такое же, как точечный заряд $q$, помешенный в центр сферы: проекция напряженности $\vec{E}$ на выбранное направление от центра $E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{2} }$. Внутри сферы (при $R < r$) поля нет: $E = 0$. График зависимости $E$ от $R$ для поля заряженной сферы показан на рисунке синей линией.
Потенциал $\phi$ этого поля вне сферы меняется по закону $\phi = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}R }$, а внутри сферы - равен потенциалу поверхности сферы: $\phi = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}r }$. На рисунке синей линией изображен график зависимости $\phi$ от $R$.
Равномерно заряженный шар вне себя (при $R \geq R_{0}$) создает поле такое же, как точечный заряд, равный заряду шара $Q = \frac{4}{3} \pi \rho R_{0}^{3}$, находящийся в его центре: $E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}R^{2} } = \frac{ \rho R_{0}^{3} }{3 \epsilon_{0}R^{2} }$. Внутри шара на расстоянии $R < R_{0}$ от его центра поле создается только тем зарядом, которым обладает шар радиуса $R$ (никакой заряженный слой не создает поля внутри себя). Этот заряд $Q_{1} = \frac{4}{3} \pi \rho R^{3}$ создает поле с напряженностью $E = \frac{Q_{1} }{4 \pi \epsilon_{0}R^{2} } = \frac{ \rho R}{3 \epsilon_{0} }$. График зависимости $E$ от $R$ для поля заряженного шара показан на рисунке черной линией.
Потенциал поля заряженного шара вне шара равен потенциалу поля точечного заряда $Q$, помещенного в центр шара: $\phi = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}R } = \frac{ \rho R_{0}^{2} }{3 \epsilon_{0}R }$.
На поверхности шара $\phi = \frac{ \rho R_{0}^{2} }{3 \epsilon_{0} }$, а по мере приближения к центру шара потенциал растет: добавляется работа, совершаемая электрическим полем по перенесению единичного заряда из рассматриваемой точки внутри шара на его поверхность. Эта работа равна средней напряженности поля на рассматриваемом участке, умноженной на перемещение единичного заряда. Поскольку внутри шара напряженность меняется линейно.
$E_{ср} = \frac{E_{R} + E_{R_{0} } }{2} = \frac{ \rho (R + R_{0} ) }{6 \epsilon_{0} }$.
Тогда потенциал поля внутри шара равен
$\phi = \frac{ \rho R_{0}^{2} }{3 \epsilon_{0} } + E_{ср}(R_{0} - R) = \frac{ \rho R_{0}^{2} }{3 \epsilon_{0} } + \frac{ \rho (R_{0}^{2} - R^{2} ) }{6 \epsilon_{0} } = \frac{ \rho (3R_{0}^{2} - R^{2} ) }{6 \epsilon_{0} }$.
Соответствующий график показан на рисунке черной линией.
Для того чтобы построить график зависимости потенциала $\phi$ поля системы от $R$, надо сложить графики, построенные отдельно для полей сферы и шара. На рисунке результирующий график показан красной линией.
Осталось найти величину $q$ заряда на сфере. Так как сфера заземлена, ее потенциал равен нулю. Это означает, что на поверхности сферы, при $R = r$, потенциал поля системы равен нулю:
$\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}r } + \frac{ \rho R_{0}^{2} }{3 \epsilon_{0} } + \frac{ \rho (R_{0}^{2} - r^{2} ) }{6 \epsilon_{0} } = 0$.
Отсюда
$q = - \frac{2}{3} \pi \rho r (3R_{0}^{2} - r^{2} )$.
Внутри диэлектрического шара радиуса $R_{0}$, равномерно заряженного с объемной плотностью $\rho$ находится заземленная металлическая сфера радиуса $r$ (рис.). Найдите зависимость потенциала электростатического поля этой системы от расстояния до центра сферы.
Решение:
Согласно принципу суперпозиции, напряженность электростатического поля системы равна сумме напряженностей полей, создаваемых зарядами шара и сферы. Аналогично и потенциал поля в каждой точке равен сумме потенциалов полей зарядов сферы и шара.
Обозначим заряд заземленной металлической сферы через $q$ (позже найдем его значение); очевидно, что $q < 0$. Этот заряд вне сферы (при $R \geq r$) создаст поле такое же, как точечный заряд $q$, помешенный в центр сферы: проекция напряженности $\vec{E}$ на выбранное направление от центра $E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{2} }$. Внутри сферы (при $R < r$) поля нет: $E = 0$. График зависимости $E$ от $R$ для поля заряженной сферы показан на рисунке синей линией.
Потенциал $\phi$ этого поля вне сферы меняется по закону $\phi = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}R }$, а внутри сферы - равен потенциалу поверхности сферы: $\phi = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}r }$. На рисунке синей линией изображен график зависимости $\phi$ от $R$.
Равномерно заряженный шар вне себя (при $R \geq R_{0}$) создает поле такое же, как точечный заряд, равный заряду шара $Q = \frac{4}{3} \pi \rho R_{0}^{3}$, находящийся в его центре: $E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}R^{2} } = \frac{ \rho R_{0}^{3} }{3 \epsilon_{0}R^{2} }$. Внутри шара на расстоянии $R < R_{0}$ от его центра поле создается только тем зарядом, которым обладает шар радиуса $R$ (никакой заряженный слой не создает поля внутри себя). Этот заряд $Q_{1} = \frac{4}{3} \pi \rho R^{3}$ создает поле с напряженностью $E = \frac{Q_{1} }{4 \pi \epsilon_{0}R^{2} } = \frac{ \rho R}{3 \epsilon_{0} }$. График зависимости $E$ от $R$ для поля заряженного шара показан на рисунке черной линией.
Потенциал поля заряженного шара вне шара равен потенциалу поля точечного заряда $Q$, помещенного в центр шара: $\phi = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}R } = \frac{ \rho R_{0}^{2} }{3 \epsilon_{0}R }$.
На поверхности шара $\phi = \frac{ \rho R_{0}^{2} }{3 \epsilon_{0} }$, а по мере приближения к центру шара потенциал растет: добавляется работа, совершаемая электрическим полем по перенесению единичного заряда из рассматриваемой точки внутри шара на его поверхность. Эта работа равна средней напряженности поля на рассматриваемом участке, умноженной на перемещение единичного заряда. Поскольку внутри шара напряженность меняется линейно.
$E_{ср} = \frac{E_{R} + E_{R_{0} } }{2} = \frac{ \rho (R + R_{0} ) }{6 \epsilon_{0} }$.
Тогда потенциал поля внутри шара равен
$\phi = \frac{ \rho R_{0}^{2} }{3 \epsilon_{0} } + E_{ср}(R_{0} - R) = \frac{ \rho R_{0}^{2} }{3 \epsilon_{0} } + \frac{ \rho (R_{0}^{2} - R^{2} ) }{6 \epsilon_{0} } = \frac{ \rho (3R_{0}^{2} - R^{2} ) }{6 \epsilon_{0} }$.
Соответствующий график показан на рисунке черной линией.
Для того чтобы построить график зависимости потенциала $\phi$ поля системы от $R$, надо сложить графики, построенные отдельно для полей сферы и шара. На рисунке результирующий график показан красной линией.
Осталось найти величину $q$ заряда на сфере. Так как сфера заземлена, ее потенциал равен нулю. Это означает, что на поверхности сферы, при $R = r$, потенциал поля системы равен нулю:
$\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}r } + \frac{ \rho R_{0}^{2} }{3 \epsilon_{0} } + \frac{ \rho (R_{0}^{2} - r^{2} ) }{6 \epsilon_{0} } = 0$.
Отсюда
$q = - \frac{2}{3} \pi \rho r (3R_{0}^{2} - r^{2} )$.
