Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12116
2019-12-17 
Для определения неизвестного объема $V_{1}$ баллона I собирают схему, приведенную на рисунке. Объем баллона II равен $V_{2}$ и $V_{2} \ll V_{1}$. Сначала систему откачивают до давления $p_{0}$, близкого к нулю. Затем закрывают кран В и заполняют биллон II газом до давления $p_{0}$. После этого закрывают крон A, открывают кран В и измеряют установившееся в системе давление $p_{1}$ манометром С. Затем при закрытом кране В вновь наполняют баллон газом до давления $p_{0}$, открывают кран В и измеряют установившиеся в системе давление $p_{2}$. Эту операцию повторяют $n$ раз. Покажите, что отношение $\frac{p_{n} - p_{)} }{np_{0} }$ - есть величина постоянная и равная $\frac{V_{2} }{V_{1} + V_{2} }$.
Решение:
Из условий эксперимента с помощью закона Бойля - Мариотта получается система $n$ уравнений
$p_{0}V_{1} = p_{n}V_{2} = p_{1}(V_{1} + V_{2} )$,
$p_{1}V_{1} + p_{a}V_{2} = p_{2}(V_{1} + V_{2} )$,
$\cdots \cdots$
$p_{n-1}V_{1} + p_{n}V_{2} = p_{n}(V_{1} + V_{2} )$.
Эта система позволяет выразить все $p_{i}$ ($i = 1,2, \cdots, n$) через $p_{0}$ и $p_{a}$. Действительно,
$p_{i} = \frac{p_{i-1}V_{1} + p_{a}V_{2} }{V_{1} + V_{2} }$,
откуда
$p_{i} - p_{a} = \frac{V_{1} }{V_{1} + V_{2} } (p_{i-1} - p_{a} ) = \alpha (p_{i-1} - p_{a} )$,
где $\alpha = \frac{V_{1} }{V_{1} + V_{2} }$. Следовательно,
$p_{i-1} - o_{a} = \alpha (p_{i-2} - p_{a} ), p_{i-2} - p_{a} = \alpha (p_{i-3} - p_{a} )$ и т.д. Таким образом, $p_{n} - p_{a} = \alpha^{n} (p_{0} - p_{a} )$, откуда
$p_{n} = p_{a} + \alpha^{n} (p_{0} - p_{a})$,
$p_{n} - p_{0} = (p_{n} - p_{0} )(1 - \alpha^{n} )$.
Ho $1 - \alpha^{n} = (1 - \alpha)(1 + \alpha + \alpha^{2} + \cdots + \alpha^{n-1}) \approx n \frac{V_{2} }{V_{1} + V_{2} }$ (поскольку $V_{1} \gg V_{2}$ и, следовательно, $\alpha$ близко к единице). Значит,
$p_{n} - p_{0} \approx (p_{n} - p_{0} ) n \frac{V_{2} }{V_{1} + V_{2} }$,
$\frac{p_{n} - p_{0} }{n(p_{n} - p_{0} )} \approx \frac{V_{2} }{V_{1} + V_{2} }$.
Если $p_{0} \ll p_{a}$, то
$\frac{p_{n} - p_{0} }{np_{a} } \approx \frac{V_{2} }{V_{1} + V_{2} }$.
Для определения неизвестного объема $V_{1}$ баллона I собирают схему, приведенную на рисунке. Объем баллона II равен $V_{2}$ и $V_{2} \ll V_{1}$. Сначала систему откачивают до давления $p_{0}$, близкого к нулю. Затем закрывают кран В и заполняют биллон II газом до давления $p_{0}$. После этого закрывают крон A, открывают кран В и измеряют установившееся в системе давление $p_{1}$ манометром С. Затем при закрытом кране В вновь наполняют баллон газом до давления $p_{0}$, открывают кран В и измеряют установившиеся в системе давление $p_{2}$. Эту операцию повторяют $n$ раз. Покажите, что отношение $\frac{p_{n} - p_{)} }{np_{0} }$ - есть величина постоянная и равная $\frac{V_{2} }{V_{1} + V_{2} }$.
Решение:
Из условий эксперимента с помощью закона Бойля - Мариотта получается система $n$ уравнений
$p_{0}V_{1} = p_{n}V_{2} = p_{1}(V_{1} + V_{2} )$,
$p_{1}V_{1} + p_{a}V_{2} = p_{2}(V_{1} + V_{2} )$,
$\cdots \cdots$
$p_{n-1}V_{1} + p_{n}V_{2} = p_{n}(V_{1} + V_{2} )$.
Эта система позволяет выразить все $p_{i}$ ($i = 1,2, \cdots, n$) через $p_{0}$ и $p_{a}$. Действительно,
$p_{i} = \frac{p_{i-1}V_{1} + p_{a}V_{2} }{V_{1} + V_{2} }$,
откуда
$p_{i} - p_{a} = \frac{V_{1} }{V_{1} + V_{2} } (p_{i-1} - p_{a} ) = \alpha (p_{i-1} - p_{a} )$,
где $\alpha = \frac{V_{1} }{V_{1} + V_{2} }$. Следовательно,
$p_{i-1} - o_{a} = \alpha (p_{i-2} - p_{a} ), p_{i-2} - p_{a} = \alpha (p_{i-3} - p_{a} )$ и т.д. Таким образом, $p_{n} - p_{a} = \alpha^{n} (p_{0} - p_{a} )$, откуда
$p_{n} = p_{a} + \alpha^{n} (p_{0} - p_{a})$,
$p_{n} - p_{0} = (p_{n} - p_{0} )(1 - \alpha^{n} )$.
Ho $1 - \alpha^{n} = (1 - \alpha)(1 + \alpha + \alpha^{2} + \cdots + \alpha^{n-1}) \approx n \frac{V_{2} }{V_{1} + V_{2} }$ (поскольку $V_{1} \gg V_{2}$ и, следовательно, $\alpha$ близко к единице). Значит,
$p_{n} - p_{0} \approx (p_{n} - p_{0} ) n \frac{V_{2} }{V_{1} + V_{2} }$,
$\frac{p_{n} - p_{0} }{n(p_{n} - p_{0} )} \approx \frac{V_{2} }{V_{1} + V_{2} }$.
Если $p_{0} \ll p_{a}$, то
$\frac{p_{n} - p_{0} }{np_{a} } \approx \frac{V_{2} }{V_{1} + V_{2} }$.
