Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12110
2019-12-17 
Теплоизолированная полость небольшими одинаковыми отверстиями соединена с двумя объемами, содержащими газообразный гелий (рис.). Давление гелия в этих объемах поддерживается постоянным и равным $p$, а температуры поддерживаются равными $T$ в одном из объемов и $2T$ в другом. Найти установившиеся давление и температуру внутри полости.
Решение:
В состоянии равновесия число частиц, находящихся в полости, должно, очевидно, оставаться постоянным. Это означает, что число частиц, попадающих в полость из объемов I и II, должно быть равно числу частиц, выходящих из полости.
Число частиц, попадающих в полость из объема I за единицу времени, прямо пропорционально плотности $n_{1}$ частиц в объеме I и средней квадратичной скорости $\bar{v}_{квI}$ частиц в этом объеме (поскольку проекция скорости на любое заданное направление пропорциональна средней квадратичной скорости): $N_{I} \sim n_{I} \bar{v}_{квI}$. Величина $n_{1}$ прямо пропорциональна давлению $p$ в объеме I и обратно пропорциональна значению $\bar{v}^{2}: n_{I} \sim \frac{p}{v_{I}^{2} }$. В свою очередь $\bar{v}_{I}^{2} \sim T$, $\bar{v}_{квI} \sim T^{1/2}$. Таким образом,
$N_{1} = \alpha p T^{-1/2}$,
где $\alpha$ - коэффициент пропорциональности. Аналогично для числа частиц, попадающих в полость за единицу времени из объема II, можем записать
$N_{II} = \alpha p(2T)^{-1/2}$.
Число частиц, покидающих полость за единицу времени через два отверстия, равно
$N = 2 \alpha p_{п}T_{п}^{-1/2}$,
где $p_{п}, T_{п}$ - соответственно давление и температура в полости. В состоянии равновесия выполняется условие $N_{I} + N_{II} = N$, то есть
$\alpha pT^{-1/2} + \alpha p (2T)^{-1/2} = 2 \alpha p_{п}T_{п}^{-1/2}$,
или
$pT^{-1/2} + p(2T)^{-1/2} = 2p_{п}T_{п}^{-1/2}$. (1)
В состоянии равновесия не меняется со временем и полная энергия частиц в полости. Эго означает, что энергия, приносимая в полость за единицу времени $N_{I}$ и $N_{II}$ частицами, равна энергии, уносимой $N$ частицами, покидающими полость: $E_{i} + E_{II} = E$. Поскольку средняя энергия $E_{ср}$, приходящаяся на одну частицу, прямо пропорциональна температуре, то $E_{I} = NE_{cpI} \sim pT^{-1/2}T = \beta p T^{1/2}, E_{II} = \beta p (2T)^{1/2}, E = 2 \beta p_{п}T_{п}^{1/2}$, где $\beta$ - коэффициент пропорциональности. Таким образом,
$\beta p T^{1/2} + \beta p (2T)^{1/2} = 2 \beta p_{п}T_{п}^{1/2}$,
или
$pT^{1/2} + p(2T)^{1/2} = 2p_{п}T_{п}^{1/2}$. (2)
Решив совместно уравнения (1) и (2). найдем
$T_{п} = T \sqrt{2}, p_{п} = p \frac{ \sqrt{2} + 1}{2 \sqrt[4]{2}}$.
Теплоизолированная полость небольшими одинаковыми отверстиями соединена с двумя объемами, содержащими газообразный гелий (рис.). Давление гелия в этих объемах поддерживается постоянным и равным $p$, а температуры поддерживаются равными $T$ в одном из объемов и $2T$ в другом. Найти установившиеся давление и температуру внутри полости.
Решение:
В состоянии равновесия число частиц, находящихся в полости, должно, очевидно, оставаться постоянным. Это означает, что число частиц, попадающих в полость из объемов I и II, должно быть равно числу частиц, выходящих из полости.
Число частиц, попадающих в полость из объема I за единицу времени, прямо пропорционально плотности $n_{1}$ частиц в объеме I и средней квадратичной скорости $\bar{v}_{квI}$ частиц в этом объеме (поскольку проекция скорости на любое заданное направление пропорциональна средней квадратичной скорости): $N_{I} \sim n_{I} \bar{v}_{квI}$. Величина $n_{1}$ прямо пропорциональна давлению $p$ в объеме I и обратно пропорциональна значению $\bar{v}^{2}: n_{I} \sim \frac{p}{v_{I}^{2} }$. В свою очередь $\bar{v}_{I}^{2} \sim T$, $\bar{v}_{квI} \sim T^{1/2}$. Таким образом,
$N_{1} = \alpha p T^{-1/2}$,
где $\alpha$ - коэффициент пропорциональности. Аналогично для числа частиц, попадающих в полость за единицу времени из объема II, можем записать
$N_{II} = \alpha p(2T)^{-1/2}$.
Число частиц, покидающих полость за единицу времени через два отверстия, равно
$N = 2 \alpha p_{п}T_{п}^{-1/2}$,
где $p_{п}, T_{п}$ - соответственно давление и температура в полости. В состоянии равновесия выполняется условие $N_{I} + N_{II} = N$, то есть
$\alpha pT^{-1/2} + \alpha p (2T)^{-1/2} = 2 \alpha p_{п}T_{п}^{-1/2}$,
или
$pT^{-1/2} + p(2T)^{-1/2} = 2p_{п}T_{п}^{-1/2}$. (1)
В состоянии равновесия не меняется со временем и полная энергия частиц в полости. Эго означает, что энергия, приносимая в полость за единицу времени $N_{I}$ и $N_{II}$ частицами, равна энергии, уносимой $N$ частицами, покидающими полость: $E_{i} + E_{II} = E$. Поскольку средняя энергия $E_{ср}$, приходящаяся на одну частицу, прямо пропорциональна температуре, то $E_{I} = NE_{cpI} \sim pT^{-1/2}T = \beta p T^{1/2}, E_{II} = \beta p (2T)^{1/2}, E = 2 \beta p_{п}T_{п}^{1/2}$, где $\beta$ - коэффициент пропорциональности. Таким образом,
$\beta p T^{1/2} + \beta p (2T)^{1/2} = 2 \beta p_{п}T_{п}^{1/2}$,
или
$pT^{1/2} + p(2T)^{1/2} = 2p_{п}T_{п}^{1/2}$. (2)
Решив совместно уравнения (1) и (2). найдем
$T_{п} = T \sqrt{2}, p_{п} = p \frac{ \sqrt{2} + 1}{2 \sqrt[4]{2}}$.
