Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1211
2016-10-20 
Найдите высоту подъёма жидкости у вертикальной стенки, зная краевой угол $\theta$, коэффициент поверхностного натяжения $\sigma$ и плотность жидкости $\rho$.
Решение:
Запишем условия равновесия столбика жидкости вблизи стенки сосуда (см. рис.). Направим ось X горизонтально, к стенке, а ось Y — вертикально вверх, причём начало отсчёта по этой оси совместим с поверхностью жидкости в сосуде вдали от стенки. Пусть верхушка рассматриваемого столбика жидкости имеет координату $y$, ширина столбика равна $\Delta x$, а толщина равна единице. Обозначим через $\alpha$ угол наклона поверхности жидкости на верху столбика, а через $\Delta \alpha$ — приращение этого угла на ширине столбика. Тогда условие равновесия столбика будет иметь вид: $\rho gy \Delta x = \sigma ( \sin (\alpha + \Delta \alpha) — \sin \alpha)$. Приращение координаты $y$ на ширине столбика равно $\Delta y = \Delta x tg \alpha$. Из этих двух уравнений, учитывая малость $\Delta \alpha$, имеем: $\rho gy \Delta y = \sigma \sin \alpha \Delta \alpha$, откуда $\rho g \Delta (y^{2}/2) = \sigma \Delta (— \cos \alpha)$. Поскольку угол $\alpha$ изменяется в пределах от 0 до $\left ( \frac{ \pi}{2} - \theta \right )$, для высоты подъёма жидкости $h$ у вертикальной стенки сосуда получаем:
$h = \sqrt{ \frac{ 2 \sigma (1 - \sin \theta)}{ \rho g}}$.
Заметим, что этот результат можно получить и из рассмотрения условий равновесия той части жидкости у стенки, которая возвышается над уровнем поверхности вдали от стенки. Если толщина этой части по-прежнему равна единице, то в направлении оси X на данную часть жидкости действуют силы поверхностного натяжения $- \sigma$ и $\sigma \sin \theta$, а также сила давления, которую можно найти следующим образом. На высоте $y$ над нулевым уровнем давление вблизи стенки меньше атмосферного на величину $\rho gy$, поэтому среднее давление для высоты подъёма жидкости у стенки $h$ равно $\rho g \frac{h}{2}$, а суммарная сила давления на эту часть жидкости направлена вправо и равна $\rho g \frac{h}{2} \cdot h$. Таким образом, условие равновесия выделенной части жидкости имеет вид: $\sigma \sin \theta - \sigma + \rho g \frac{h^{2}}{2} = 0$, откуда получаем прежнее выражение для $h$.
Найдите высоту подъёма жидкости у вертикальной стенки, зная краевой угол $\theta$, коэффициент поверхностного натяжения $\sigma$ и плотность жидкости $\rho$.
Решение:
Запишем условия равновесия столбика жидкости вблизи стенки сосуда (см. рис.). Направим ось X горизонтально, к стенке, а ось Y — вертикально вверх, причём начало отсчёта по этой оси совместим с поверхностью жидкости в сосуде вдали от стенки. Пусть верхушка рассматриваемого столбика жидкости имеет координату $y$, ширина столбика равна $\Delta x$, а толщина равна единице. Обозначим через $\alpha$ угол наклона поверхности жидкости на верху столбика, а через $\Delta \alpha$ — приращение этого угла на ширине столбика. Тогда условие равновесия столбика будет иметь вид: $\rho gy \Delta x = \sigma ( \sin (\alpha + \Delta \alpha) — \sin \alpha)$. Приращение координаты $y$ на ширине столбика равно $\Delta y = \Delta x tg \alpha$. Из этих двух уравнений, учитывая малость $\Delta \alpha$, имеем: $\rho gy \Delta y = \sigma \sin \alpha \Delta \alpha$, откуда $\rho g \Delta (y^{2}/2) = \sigma \Delta (— \cos \alpha)$. Поскольку угол $\alpha$ изменяется в пределах от 0 до $\left ( \frac{ \pi}{2} - \theta \right )$, для высоты подъёма жидкости $h$ у вертикальной стенки сосуда получаем:
$h = \sqrt{ \frac{ 2 \sigma (1 - \sin \theta)}{ \rho g}}$.
Заметим, что этот результат можно получить и из рассмотрения условий равновесия той части жидкости у стенки, которая возвышается над уровнем поверхности вдали от стенки. Если толщина этой части по-прежнему равна единице, то в направлении оси X на данную часть жидкости действуют силы поверхностного натяжения $- \sigma$ и $\sigma \sin \theta$, а также сила давления, которую можно найти следующим образом. На высоте $y$ над нулевым уровнем давление вблизи стенки меньше атмосферного на величину $\rho gy$, поэтому среднее давление для высоты подъёма жидкости у стенки $h$ равно $\rho g \frac{h}{2}$, а суммарная сила давления на эту часть жидкости направлена вправо и равна $\rho g \frac{h}{2} \cdot h$. Таким образом, условие равновесия выделенной части жидкости имеет вид: $\sigma \sin \theta - \sigma + \rho g \frac{h^{2}}{2} = 0$, откуда получаем прежнее выражение для $h$.
