Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12108
2019-12-17 
Луна одновременно фотографируется с одной и той же стороны с Земли и со спутника Луны. Орбита спутника круговая. Диаметр изображения Луны на фотографии, полученной на Земле, равен 4 мм, а на спутнике Луны - 250 мм. Найти период обращения спутника Луны по его орбите, если оба снимка сделаны с помощью одинаковых объективов с фокусным расстоянием 500 мм. Принять, что ускорение свободного падения на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле, и расстояние от Земли до Луны равно 380 000 км.
Решение:
На спутник Луны, движущийся по круговой орбите радиуса $R$, действует со стороны Луны сила притяжения равная $F = \gamma \frac{M_{л}m }{R^{2} }$ ($m$ - масса спутника $M_{л}$ - масcа Луны). Учитывая, что ускорение свободного падения на Луне $g_{л} = \gamma \frac{M_{л} }{r_{л}^{2} }$ ($r_{л}$ - радиус Луны), можем записать
$F = mg_{л} \left ( \frac{r_{л} }{R} \right )^{2}$.
Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение $| \vec{a} | = \omega^{2}R = \frac{4 \pi^{2} R}{T^{2} }$, где $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ - угловая скорость вращения спутника, $T$ - период обращения его по орбите. Итак, $| \vec{F} | = m | \vec{a} |$, то есть
$mg_{л} \left ( \frac{r_{л} }{R} \right )^{2} = m \frac{4 \pi^{2}R }{T^{2} }$.
Отсюда
$T = 2 \pi \frac{R}{r_{л} } \sqrt{ \frac{R}{r_{л} } }$. (*)
В эту формулу входят две неизвестные величины - $R$ и $r_{л}$. Найдем их, "воспользовавшись" фотографиями Луны, полученными с Земли и со спутника. Изображение Луны получается в фокальной плоскости объектива. Луна находится от Земли на расстоянии, много большем ее диаметра Поэтому можно считать, что при фотографировании с Земли (рис.)
$\frac{d_{1}}{2r_{л} } = \frac{F}{L}, r_{л} = \frac{d_{1}L}{2F}$
($d_{1}$ - диаметр изображения, $L$ - расстояние Земля-Луна, $F$ - фокусное расстояние линзы).
При фотографировании со спутника (рис.) на пленке получается изображение части поверхности Луны, ограниченной касательными ОА и ОВ. Из подобия треугольников OMN и ОСВ имеем
$\frac{BC}{MN} = \frac{R}{ON} \Rightarrow \frac{2r_{л} }{d_{2} } = \frac{R}{a}$.
где $a = \sqrt{F^{2} + \left ( \frac{d_{2} }{2} \right )^{2} }$. Отсюда
$R = \frac{2r_{л} }{d_{2} } a = \frac{d_{1}L }{d_{2}F }a$.
Подставив найденные выражения для $r_{л}$ и $R$ в (*), получим
$T = 4 \pi \frac{a}{d_{2} } \sqrt{ \frac{d_{1}L }{g_{л}d_{2}F } a } \approx 6,23 \cdot 10^{4} с$
Луна одновременно фотографируется с одной и той же стороны с Земли и со спутника Луны. Орбита спутника круговая. Диаметр изображения Луны на фотографии, полученной на Земле, равен 4 мм, а на спутнике Луны - 250 мм. Найти период обращения спутника Луны по его орбите, если оба снимка сделаны с помощью одинаковых объективов с фокусным расстоянием 500 мм. Принять, что ускорение свободного падения на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле, и расстояние от Земли до Луны равно 380 000 км.
Решение:
На спутник Луны, движущийся по круговой орбите радиуса $R$, действует со стороны Луны сила притяжения равная $F = \gamma \frac{M_{л}m }{R^{2} }$ ($m$ - масса спутника $M_{л}$ - масcа Луны). Учитывая, что ускорение свободного падения на Луне $g_{л} = \gamma \frac{M_{л} }{r_{л}^{2} }$ ($r_{л}$ - радиус Луны), можем записать
$F = mg_{л} \left ( \frac{r_{л} }{R} \right )^{2}$.
Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение $| \vec{a} | = \omega^{2}R = \frac{4 \pi^{2} R}{T^{2} }$, где $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ - угловая скорость вращения спутника, $T$ - период обращения его по орбите. Итак, $| \vec{F} | = m | \vec{a} |$, то есть
$mg_{л} \left ( \frac{r_{л} }{R} \right )^{2} = m \frac{4 \pi^{2}R }{T^{2} }$.
Отсюда
$T = 2 \pi \frac{R}{r_{л} } \sqrt{ \frac{R}{r_{л} } }$. (*)
В эту формулу входят две неизвестные величины - $R$ и $r_{л}$. Найдем их, "воспользовавшись" фотографиями Луны, полученными с Земли и со спутника. Изображение Луны получается в фокальной плоскости объектива. Луна находится от Земли на расстоянии, много большем ее диаметра Поэтому можно считать, что при фотографировании с Земли (рис.)
$\frac{d_{1}}{2r_{л} } = \frac{F}{L}, r_{л} = \frac{d_{1}L}{2F}$
($d_{1}$ - диаметр изображения, $L$ - расстояние Земля-Луна, $F$ - фокусное расстояние линзы).
При фотографировании со спутника (рис.) на пленке получается изображение части поверхности Луны, ограниченной касательными ОА и ОВ. Из подобия треугольников OMN и ОСВ имеем
$\frac{BC}{MN} = \frac{R}{ON} \Rightarrow \frac{2r_{л} }{d_{2} } = \frac{R}{a}$.
где $a = \sqrt{F^{2} + \left ( \frac{d_{2} }{2} \right )^{2} }$. Отсюда
$R = \frac{2r_{л} }{d_{2} } a = \frac{d_{1}L }{d_{2}F }a$.
Подставив найденные выражения для $r_{л}$ и $R$ в (*), получим
$T = 4 \pi \frac{a}{d_{2} } \sqrt{ \frac{d_{1}L }{g_{л}d_{2}F } a } \approx 6,23 \cdot 10^{4} с$
