Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12093
2019-12-17 
Нарисуйте примерный график зависимости тока через сопротивление $R$ от положения движка потенциометра (рис.). При каком значении $y = \frac{x}{l}$ этот ток максимален?
Решение:
Подвижный контакт (движок) делит сопротивление $r$ потенциометра на две части. Обозначим их через $r_{1}$ и $r_{2}$ (рис.), причем
$r_{1} = ry$ и $r_{2} = r(1 - y)$. (1)
Общее сопротивление $R_{0}$ цепи равно
$R_{0} = R_{1} + r_{2} + \frac{r_{1}R }{r_{1} + R }$. (2)
(считаем, что внутреннее сопротивление источника входит в $R_{1}$). Ток в цепи
$I_{0} = \frac{ \mathcal{E} }{R_{0} }$. (3)
Обозначим через $I$ и $I_{1}$ токи, текущие через сопротивления $R$ и $r_{1}$ соответственно. Тогда
$I_{0} = I + I_{1}$ (4)
Из соотношения
$IR = I_{1}r_{1}$
с учетом (2), (3) и (4) получаем
$I = \frac{ \mathcal{E} }{ \left ( R_{1} + r_{2} + \frac{r_{1}R }{r_{1} + R } \right ) \left ( 1 + \frac{R}{r_{1} } \right ) }$.
Подстановка в это выражение значении $r_{1}$ и $r_{2}$ из (1) позволяет привести его к виду
$I = \frac{ mathcal{E} }{A - ry + \frac{B}{y} }$,
где $A = R_{1} + r, B = R \left ( 1 + \frac{R_{1} }{r} \right )$.
Исследуем зависимость $I$ от $y$. Рассмотрим сначала два крайних случая. Если $y \rightarrow 0$ (движок потенциометра приближается к крайнему правому положению), то
$\frac{B}{y} \rightarrow \infty$, и $I \rightarrow 0$.
Если $y \rightarrow l$ (движок приближается к крайнему левому положению), то
$I \rightarrow \frac{ \mathcal{E} }{A - r + B} = \frac{ \mathcal{E} }{R_{1} + R \left ( 1 + \frac{R_{1} }{r} \right ) }$.
Для того чтобы выяснить характер изменения тока, найдем производную $I^{ \prime}$ от $I$ по $y$:
$I^{ \prime} = \frac{ \mathcal{E} \left ( r + \frac{B}{y^{2} } \right ) }{ \left ( A - ry + \frac{B}{y} \right )^{2} }$.
При всех возможных значениях $y$ (от 0 до $l$) $I^{ \prime} > 0$. Это означает, что с увеличением $y$ ток монотонно увеличивается, причем кривая $I(y)$ вогнута (рис.).
Нарисуйте примерный график зависимости тока через сопротивление $R$ от положения движка потенциометра (рис.). При каком значении $y = \frac{x}{l}$ этот ток максимален?
Решение:
Подвижный контакт (движок) делит сопротивление $r$ потенциометра на две части. Обозначим их через $r_{1}$ и $r_{2}$ (рис.), причем
$r_{1} = ry$ и $r_{2} = r(1 - y)$. (1)
Общее сопротивление $R_{0}$ цепи равно
$R_{0} = R_{1} + r_{2} + \frac{r_{1}R }{r_{1} + R }$. (2)
(считаем, что внутреннее сопротивление источника входит в $R_{1}$). Ток в цепи
$I_{0} = \frac{ \mathcal{E} }{R_{0} }$. (3)
Обозначим через $I$ и $I_{1}$ токи, текущие через сопротивления $R$ и $r_{1}$ соответственно. Тогда
$I_{0} = I + I_{1}$ (4)
Из соотношения
$IR = I_{1}r_{1}$
с учетом (2), (3) и (4) получаем
$I = \frac{ \mathcal{E} }{ \left ( R_{1} + r_{2} + \frac{r_{1}R }{r_{1} + R } \right ) \left ( 1 + \frac{R}{r_{1} } \right ) }$.
Подстановка в это выражение значении $r_{1}$ и $r_{2}$ из (1) позволяет привести его к виду
$I = \frac{ mathcal{E} }{A - ry + \frac{B}{y} }$,
где $A = R_{1} + r, B = R \left ( 1 + \frac{R_{1} }{r} \right )$.
Исследуем зависимость $I$ от $y$. Рассмотрим сначала два крайних случая. Если $y \rightarrow 0$ (движок потенциометра приближается к крайнему правому положению), то
$\frac{B}{y} \rightarrow \infty$, и $I \rightarrow 0$.
Если $y \rightarrow l$ (движок приближается к крайнему левому положению), то
$I \rightarrow \frac{ \mathcal{E} }{A - r + B} = \frac{ \mathcal{E} }{R_{1} + R \left ( 1 + \frac{R_{1} }{r} \right ) }$.
Для того чтобы выяснить характер изменения тока, найдем производную $I^{ \prime}$ от $I$ по $y$:
$I^{ \prime} = \frac{ \mathcal{E} \left ( r + \frac{B}{y^{2} } \right ) }{ \left ( A - ry + \frac{B}{y} \right )^{2} }$.
При всех возможных значениях $y$ (от 0 до $l$) $I^{ \prime} > 0$. Это означает, что с увеличением $y$ ток монотонно увеличивается, причем кривая $I(y)$ вогнута (рис.).
