Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12090
2019-12-17 
Тяжелый ящик массы $M$ скатывается по роликам, обрезающим наклонную плоскость (рис.). Расстояние между роликами $l$, их радиусы $r$ и массы $m$. Угол наклона плоскости к горизонту равен $\alpha$. Найдем скорость движения ящика, если известно, что она постоянна. Считать, что ролики полые и толщина их стенок $d \ll r$.
Решение:
При движении ящика вниз по наклонной плоскости находящиеся под ним ролики приходят в движение - начинают раскручиваться. Тот факт, что ящик движется с постоянной скоростью, означает, что на него со стороны роликов действует сила сопротивления $\vec{F} = - M \vec{g} \sin \alpha$.
Предположим, что ящик движется со скоростью $\vec{v}$ и его длина достаточно велика, так что он успевает раскрутить ролики до линейной скорости $u = | \vec{v}|$. Ролик раскручивается благодаря силе трения $\vec{f}$, действующей на него со стороны ящика до тех пор, пока его линейная скорость не станет равной $| \vec{v} |$. После этого трение между этим роликом и ящиком исчезает.
Из соображений симметрии ясно, что действие силы трения на ролик равноценно действию такой же по абсолютному значению силы $| \vec{f} |$, приложенной к ролику в любой его точке по касательной к ободу ролика и "вращающейся" вместе с роликом. Так как действующая на ролик сила трения постоянна по абсолютному значению, линейная скорость вращения ролика под действием силы $| \vec{f}|$ изменяется со временем по линейному закону. Пусть ролик раскручивается за время $\tau$ до линейной скорости $u = | \vec{v} |$. Сила $\vec{f}$ совершает при этом работу $| \vec{f} | | \vec{v} | \tau / 2$ (средняя скорость ролика равна $| \vec{v} | /2$, путь, проходимый точкой приложения силы, равен $| \vec{v} | \tau /2$). Эта работа равна кинетический энергии ролика:
$\frac{ | \vec{f} | | \vec{v} | \tau}{2} = \frac{m | \vec{v} |^{2} }{2}$. (1)
Поскольку ролик раскручивается до линейной скорости $| \vec{v} |$ за время $\tau$, под ящиком все время находятся $N = | \vec{v} | \tau /l$ роликов, линейная скорость которых меньше $| \vec{v} |$. Сила трения, с которой эти ролики действуют на ящик, равна
$| \vec{F} | = N | \vec{f} | = \frac{| \vec{v} | \tau }{l} | \vec{f} | = M | \vec{g} | \sin \alpha$. (2)
Из (1) имеем $| \vec{v} | \tau | \vec{f} | = m | \vec{v} |^{2}$. Подставим это выражение в (2), получим:
$\frac{m | \vec{v} |^{2} }{l} = M | \vec{g} | \sin \alpha$.
Отсюда
$| \vec{v} | = \sqrt{ \vec{M}{m} | \vec{g} | l \sin \alpha }$.
Тяжелый ящик массы $M$ скатывается по роликам, обрезающим наклонную плоскость (рис.). Расстояние между роликами $l$, их радиусы $r$ и массы $m$. Угол наклона плоскости к горизонту равен $\alpha$. Найдем скорость движения ящика, если известно, что она постоянна. Считать, что ролики полые и толщина их стенок $d \ll r$.
Решение:
При движении ящика вниз по наклонной плоскости находящиеся под ним ролики приходят в движение - начинают раскручиваться. Тот факт, что ящик движется с постоянной скоростью, означает, что на него со стороны роликов действует сила сопротивления $\vec{F} = - M \vec{g} \sin \alpha$.
Предположим, что ящик движется со скоростью $\vec{v}$ и его длина достаточно велика, так что он успевает раскрутить ролики до линейной скорости $u = | \vec{v}|$. Ролик раскручивается благодаря силе трения $\vec{f}$, действующей на него со стороны ящика до тех пор, пока его линейная скорость не станет равной $| \vec{v} |$. После этого трение между этим роликом и ящиком исчезает.
Из соображений симметрии ясно, что действие силы трения на ролик равноценно действию такой же по абсолютному значению силы $| \vec{f} |$, приложенной к ролику в любой его точке по касательной к ободу ролика и "вращающейся" вместе с роликом. Так как действующая на ролик сила трения постоянна по абсолютному значению, линейная скорость вращения ролика под действием силы $| \vec{f}|$ изменяется со временем по линейному закону. Пусть ролик раскручивается за время $\tau$ до линейной скорости $u = | \vec{v} |$. Сила $\vec{f}$ совершает при этом работу $| \vec{f} | | \vec{v} | \tau / 2$ (средняя скорость ролика равна $| \vec{v} | /2$, путь, проходимый точкой приложения силы, равен $| \vec{v} | \tau /2$). Эта работа равна кинетический энергии ролика:
$\frac{ | \vec{f} | | \vec{v} | \tau}{2} = \frac{m | \vec{v} |^{2} }{2}$. (1)
Поскольку ролик раскручивается до линейной скорости $| \vec{v} |$ за время $\tau$, под ящиком все время находятся $N = | \vec{v} | \tau /l$ роликов, линейная скорость которых меньше $| \vec{v} |$. Сила трения, с которой эти ролики действуют на ящик, равна
$| \vec{F} | = N | \vec{f} | = \frac{| \vec{v} | \tau }{l} | \vec{f} | = M | \vec{g} | \sin \alpha$. (2)
Из (1) имеем $| \vec{v} | \tau | \vec{f} | = m | \vec{v} |^{2}$. Подставим это выражение в (2), получим:
$\frac{m | \vec{v} |^{2} }{l} = M | \vec{g} | \sin \alpha$.
Отсюда
$| \vec{v} | = \sqrt{ \vec{M}{m} | \vec{g} | l \sin \alpha }$.
