Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12087
2019-12-17 
Оцените приближенно, при каком минимальном радиусе планеты она сможет удерживать атмосферу, состоящую в основном из кислорода и азота, если температура поверхности планеты $T = 300 К$. Среднюю плотность вещества планеты принять равной $\rho = 4 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$.
Решение:
Рассмотрим молекулу, входящую в состав атмосферы планеты. Эта молекула будет удерживаться в непосредственной близости от поверхности планеты, если ее кинетическая энергия не превосходит потенциальной энергии молекулы в гравитационном поле планеты:
$\frac{m \bar{v}^{2} }{2} \leq \gamma \frac{mM}{r}$.
Здесь $m$ - масса молекулы, $\bar{v}^{2}$ - средний квадрат ее скорости, $\gamma$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса планеты и $r$ - ее радиус. Оценку минимального радиуса планеты можно провести, используя равенство кинетической и потенциальной энергий по порядку величины:
$\frac{m \bar{v}^{2} }{2} \approx \gamma \frac{mM}{r_{min} }$. (1)
Средний квадрат скорости молекулы газа связан с температурой $T$ газа соотношением
$\bar{v}^{2} = \frac{3kT}{m} = \frac{3RT}{ \mu}$,
где $k$ - постоянная Больцмана, $R$ - универсальная газовая постоянная, $\mu$ - молярная масса газа. Массу планеты можно выразить через среднее значение $\rho$ плотности вещества планеты и ее минимальный радиус $r_{min}$:
$M = \frac{4}{3} \pi r_{min}^{3} \rho$.
Тогда соотношение (1) можно переписать в таком виде:
$\frac{3RT}{2 \mu} \approx \frac{4}{3} \gamma \pi r_{min}^{2} \rho$, откуда
$r_{min} \approx \sqrt{ \frac{9RT}{8 \gamma \pi \rho \mu} }$. (2)
Из формулы (2) следует, что $r_{min}$ зависит (при прочих равных условиях) от молярной массы $\mu: r_{min}$ тем меньше, чем больше $\mu$. По условию задачи атмосфера планеты состоит в основном из кислорода и азота, для которых молярные массы равны соответственно $\mu_{к} = 32 \cdot 10^{-3} кг/моль$ и $\mu_{а} = 28 \cdot 10^{-3} кг/моль$. Очевидно, для оценки минимального радиуса планеты достаточно найти $r_{min}$, считая, что атмосфера состоит только из азота.
Итак,
$r_{min} \approx \sqrt{ \frac{9RT}{8 \gamma \pi \rho \mu_{а} } } \approx 3 \cdot 10^{5} м = 300 км$.
Оцените приближенно, при каком минимальном радиусе планеты она сможет удерживать атмосферу, состоящую в основном из кислорода и азота, если температура поверхности планеты $T = 300 К$. Среднюю плотность вещества планеты принять равной $\rho = 4 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$.
Решение:
Рассмотрим молекулу, входящую в состав атмосферы планеты. Эта молекула будет удерживаться в непосредственной близости от поверхности планеты, если ее кинетическая энергия не превосходит потенциальной энергии молекулы в гравитационном поле планеты:
$\frac{m \bar{v}^{2} }{2} \leq \gamma \frac{mM}{r}$.
Здесь $m$ - масса молекулы, $\bar{v}^{2}$ - средний квадрат ее скорости, $\gamma$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса планеты и $r$ - ее радиус. Оценку минимального радиуса планеты можно провести, используя равенство кинетической и потенциальной энергий по порядку величины:
$\frac{m \bar{v}^{2} }{2} \approx \gamma \frac{mM}{r_{min} }$. (1)
Средний квадрат скорости молекулы газа связан с температурой $T$ газа соотношением
$\bar{v}^{2} = \frac{3kT}{m} = \frac{3RT}{ \mu}$,
где $k$ - постоянная Больцмана, $R$ - универсальная газовая постоянная, $\mu$ - молярная масса газа. Массу планеты можно выразить через среднее значение $\rho$ плотности вещества планеты и ее минимальный радиус $r_{min}$:
$M = \frac{4}{3} \pi r_{min}^{3} \rho$.
Тогда соотношение (1) можно переписать в таком виде:
$\frac{3RT}{2 \mu} \approx \frac{4}{3} \gamma \pi r_{min}^{2} \rho$, откуда
$r_{min} \approx \sqrt{ \frac{9RT}{8 \gamma \pi \rho \mu} }$. (2)
Из формулы (2) следует, что $r_{min}$ зависит (при прочих равных условиях) от молярной массы $\mu: r_{min}$ тем меньше, чем больше $\mu$. По условию задачи атмосфера планеты состоит в основном из кислорода и азота, для которых молярные массы равны соответственно $\mu_{к} = 32 \cdot 10^{-3} кг/моль$ и $\mu_{а} = 28 \cdot 10^{-3} кг/моль$. Очевидно, для оценки минимального радиуса планеты достаточно найти $r_{min}$, считая, что атмосфера состоит только из азота.
Итак,
$r_{min} \approx \sqrt{ \frac{9RT}{8 \gamma \pi \rho \mu_{а} } } \approx 3 \cdot 10^{5} м = 300 км$.
