Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12086
2019-12-17 
Однородная палочка лежит внутри шероховатой сферической полости. Длина палочки равна радиусу сферы. Коэффициент трения равен $\mu$. Какой наибольший угол с горизонтом может составлять палочка?
Решение:
Очевидно, что палочка будет составлять наибольший угол $\alpha$ с горизонтом когда плоскость большого круга, проведенная через точки касания палочки со сферой, вертикальна. В этой плоскости на палочку действуют сила тяжести $M \vec{g}$, силы нормальной реакции сферы $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$ и силы трения $\vec{F}_{1}$
и $\vec{F}_{2}$ (рис.).
Палочка находится в покое, если сумма проекций этих сил на любое направление и сумма моментов сил относительно любой неподвижной оси равна нулю. Запишем условие равновесия палочки в проекции на ее направление:
$| \vec{N}_{1} | \cos \phi - | \vec{N}_{2} | \cos \phi + | \vec{F}_{1} | \sin \phi + | \vec{F}_{2} | \sin \phi - |M \vec{g} | \sin \alpha = 0$.
Проектируя силы на направление, перпендикулярное к палочке, получим
$| \vec{N}_{1} | \sin \phi + | \vec{N}_{2} | \sin \phi - | \vec{F}_{1} | \cos \phi + | \vec{F}_{2} | \cos \phi - | M \vec{g} | \cos \alpha = 0$.
Уравнение моментов удобно записать относительно оси, перпендикулярной к плоскости рисунка и проходящей через центр сферы:
$| \vec{F}_{1} | R + | \vec{F}_{2} | R - | M \vec{g}| R \sin \phi \sin \alpha = 0$.
Здесь $\phi = \pi / 3$, $R$ - длина палочки, равная радиусу сферы.
При наибольшем угле $\alpha_{max}$ наклона палочки к горизонту силы трения достигают своих наибольших значений:
$| \vec{F}_{1} | = \mu | \vec{N}_{1} |$ и $| \vec{F}_{2} | = \mu | \vec{N}_{2} |$.
Решив полученную систему пяти уравнений, найдем
$tg \alpha_{max} = \frac{ \mu}{ \sin^{2} \phi - \mu^{2} \cos^{2} \phi } = \frac{4 \mu}{3 - \mu^{2} }$,
$\alpha_{max} = arctg \frac{4 \mu}{3 - \mu^{2} }$.
Задачу можно решить также, используя так называемую "теорему о трех силах": если тело находится в равновесии под действием трех приложенных к нему непараллельных сил, то линии действии этих сил пересекаются в одной точке.
В нашем случае тремя силами, приложенными к палочке, являются сила тяжести $M \vec{g}$ и результирующие сил реакций $\vec{R}_{1} = \vec{F}_{1} + \vec{N}_{1}$, и $\vec{R}_{2} = \vec{F}_{2} + \vec{N}_{2}$ (рис.). Поскольку силы трения при наибольшем угле $\alpha_{max}$ наклона палочки максимальны, силы $\vec{R}_{1}$ и $\vec{R}_{2}$ составляют с радиусами сферы, проведенными в точках касания, один и тот же угол $\beta = arctg \mu$ (угол трения).
Рассмотрим треугольник АСВ, в котором палочка является основанием, а точка С пересечения линий действия сил - противолежащей вершиной. Линия действия силы тяжести делит упомянутый треугольник на два имеющих общую сторону длиной $l$ (медиану треугольника АСВ) и конгруэнтные основания длиной по $R/2$. Применив к каждому треугольнику теорему синусов, получим
$\frac{ \sin \left ( \frac{ \pi}{2} + \alpha - \phi - \beta \right )}{ \frac{R}{2} } = \frac{ \sin ( \phi + \beta) }{l}$
и
$\frac{ \sin \left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha - \phi + \beta \right )}{ \frac{R}{2} } = \frac{ \sin ( \phi - \beta )}{l}$,
где $tg \beta = \mu$ и $\phi = \pi /3$.
Поделив эти два уравнения одно на другое, получим
$\frac{ \cos ( \alpha - \phi - \beta)}{ \cos ( \alpha + \phi - \beta) } = \frac{ \sin ( \phi + \beta) }{ \sin ( \phi - \beta) }$,
из которого найдем
$tg \alpha = \frac{(1 + tg^{2} \phi ) tg \beta}{tg^{2} \phi - tg^{2} \beta } = \frac{4 \mu}{3 - \mu^{2} }$.
Однородная палочка лежит внутри шероховатой сферической полости. Длина палочки равна радиусу сферы. Коэффициент трения равен $\mu$. Какой наибольший угол с горизонтом может составлять палочка?
Решение:
Очевидно, что палочка будет составлять наибольший угол $\alpha$ с горизонтом когда плоскость большого круга, проведенная через точки касания палочки со сферой, вертикальна. В этой плоскости на палочку действуют сила тяжести $M \vec{g}$, силы нормальной реакции сферы $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$ и силы трения $\vec{F}_{1}$
и $\vec{F}_{2}$ (рис.).
Палочка находится в покое, если сумма проекций этих сил на любое направление и сумма моментов сил относительно любой неподвижной оси равна нулю. Запишем условие равновесия палочки в проекции на ее направление:
$| \vec{N}_{1} | \cos \phi - | \vec{N}_{2} | \cos \phi + | \vec{F}_{1} | \sin \phi + | \vec{F}_{2} | \sin \phi - |M \vec{g} | \sin \alpha = 0$.
Проектируя силы на направление, перпендикулярное к палочке, получим
$| \vec{N}_{1} | \sin \phi + | \vec{N}_{2} | \sin \phi - | \vec{F}_{1} | \cos \phi + | \vec{F}_{2} | \cos \phi - | M \vec{g} | \cos \alpha = 0$.
Уравнение моментов удобно записать относительно оси, перпендикулярной к плоскости рисунка и проходящей через центр сферы:
$| \vec{F}_{1} | R + | \vec{F}_{2} | R - | M \vec{g}| R \sin \phi \sin \alpha = 0$.
Здесь $\phi = \pi / 3$, $R$ - длина палочки, равная радиусу сферы.
При наибольшем угле $\alpha_{max}$ наклона палочки к горизонту силы трения достигают своих наибольших значений:
$| \vec{F}_{1} | = \mu | \vec{N}_{1} |$ и $| \vec{F}_{2} | = \mu | \vec{N}_{2} |$.
Решив полученную систему пяти уравнений, найдем
$tg \alpha_{max} = \frac{ \mu}{ \sin^{2} \phi - \mu^{2} \cos^{2} \phi } = \frac{4 \mu}{3 - \mu^{2} }$,
$\alpha_{max} = arctg \frac{4 \mu}{3 - \mu^{2} }$.
Задачу можно решить также, используя так называемую "теорему о трех силах": если тело находится в равновесии под действием трех приложенных к нему непараллельных сил, то линии действии этих сил пересекаются в одной точке.
В нашем случае тремя силами, приложенными к палочке, являются сила тяжести $M \vec{g}$ и результирующие сил реакций $\vec{R}_{1} = \vec{F}_{1} + \vec{N}_{1}$, и $\vec{R}_{2} = \vec{F}_{2} + \vec{N}_{2}$ (рис.). Поскольку силы трения при наибольшем угле $\alpha_{max}$ наклона палочки максимальны, силы $\vec{R}_{1}$ и $\vec{R}_{2}$ составляют с радиусами сферы, проведенными в точках касания, один и тот же угол $\beta = arctg \mu$ (угол трения).
Рассмотрим треугольник АСВ, в котором палочка является основанием, а точка С пересечения линий действия сил - противолежащей вершиной. Линия действия силы тяжести делит упомянутый треугольник на два имеющих общую сторону длиной $l$ (медиану треугольника АСВ) и конгруэнтные основания длиной по $R/2$. Применив к каждому треугольнику теорему синусов, получим
$\frac{ \sin \left ( \frac{ \pi}{2} + \alpha - \phi - \beta \right )}{ \frac{R}{2} } = \frac{ \sin ( \phi + \beta) }{l}$
и
$\frac{ \sin \left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha - \phi + \beta \right )}{ \frac{R}{2} } = \frac{ \sin ( \phi - \beta )}{l}$,
где $tg \beta = \mu$ и $\phi = \pi /3$.
Поделив эти два уравнения одно на другое, получим
$\frac{ \cos ( \alpha - \phi - \beta)}{ \cos ( \alpha + \phi - \beta) } = \frac{ \sin ( \phi + \beta) }{ \sin ( \phi - \beta) }$,
из которого найдем
$tg \alpha = \frac{(1 + tg^{2} \phi ) tg \beta}{tg^{2} \phi - tg^{2} \beta } = \frac{4 \mu}{3 - \mu^{2} }$.
