Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12085
2019-12-17 
Проволочная рамка, имеющая форму треугольника с углом $\alpha = 30^{ \circ}$, помещена в вертикальной плоскости так, как показано ни рисунке. По проволоке могут без трения скользить связанные друг с другом нитью два грузика с массами $m_{1} = 0,1 кг$ и $m_{2} = 0,3 кг$. Чему равно натяжение нити и угол $\beta$ в положении равновесия грузиков?
Является ли это равновесие устойчивым?
Решение:
На рисунке показаны все силы, действующие на грузики. Силы $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$ натяжении нити равны по абсолютной величине и противоположно направлены: $\vec{T}_{1} = - \vec{T}_{2}$ и $| \vec{T}_{1} | = | \vec{T}_{2} | = T$. Силы реакции $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$ перпендикулярны к сторонам рамки и, следовательно, образуют друг с другом угол $90^{ \circ}$. Силы тяжести $m_{1} \vec{g}$ и $m_{2} \vec{g}$, как всегда, направлены вертикально вниз.
Так как система из связанных нитью грузов находится в равновесии, то
$\vec{N}_{1} + \vec{N}_{2} + \vec{T}_{1} + \vec{T}_{2} + m_{1} \vec{g} + m_{2} \vec{G} = 0$,
или
$\vec{N}_{1} + \vec{N}_{2} + m_{1} \vec{g} + m_{2} \vec{g} = 0$.
Это означает, что векторы $\vec{N}_{1}, \vec{N}_{2}$ и $m_{1} \vec{g} + m_{2} \vec{g}$ образуют треугольник (рис.), причем этот треугольник прямоугольный: $\hat{BAC} = 90^{ \circ}$. В равновесии находится и каждый из грузиков. Следовательно,
$m_{1} \vec{g} + \vec{N}_{1} + \vec{T}_{1} = 0, \vec{N}_{2} + m_{2} \vec{g} + \vec{T}_{2} = 0$.
И этих равенств следует, что вектор $\vec{T}_{1}$ соединяет вершину А треугольника АВС с точкой E, а вектор $\vec{T}_{2}$ - точку E с точкой А.
В треугольнике AЕC $\hat{ACE} = \alpha$ и $\hat{CAE} = 90^{ \circ} - \beta$, а в треугольнике ABE $\hat{ABE} = 90^{ \circ} - \alpha$ и $\hat{BAE} = \beta$. Согласно теореме синусов
$\frac{T}{ \sin \alpha} = \frac{m_{1} | \vec{g} | }{ \sin ( 90^{ \circ} - \beta) } = \frac{m_{1} | \vec{g} | }{ \cos \beta }, \frac{m_{2} | \vec{g} | }{ \sin \beta} = \frac{T}{ \sin (90^{ \circ} - \alpha ) } = \frac{T}{ \cos \alpha}$.
Решая эти уравнения совместно, найдем
$tg \beta = \frac{m_{2} }{m_{1} } ctg \alpha = 3 \sqrt{3}, \beta \approx 79^{ \circ}$;
$T = m_{1} | \vec{g} | \frac{ \sin \alpha}{ \cos \beta} \approx 2,7 н$.
Теперь выясним, является ли найденное положение равновесия устойчивым. Положение равновесия устойчиво, если потенциальная энергия системы в этом положении минимальна, то есть центр тяжести системы грузов находится в наинизшем положении. Для того чтобы выяснить выполняется ли это условие, найдем координату центра тяжести системы.
Обозначим длину стороны DК проволочного треугольника (рис.) через $a$, а длину нити - через $l$. Центр тяжести системы (точка О) делит длину нити в отношении $\frac{m_{2} }{m_{1} }$. Следовательно, он находится на расстоянии $b = \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} } l$ от левого грузика. Из рисунка видно, что
$y_{0} = (a - l \cos \beta ) \sin \alpha - b \sin ( \beta - \alpha ) = a \sin \alpha - l \left ( \cos \beta \sin \alpha + \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} } \sin ( \beta - \alpha) \right )$.
Это выражение минимально, когда максимально выражение
$y_{1} = \cos \beta \sin \alpha + \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} } \sin ( \beta - \alpha)$. (*)
Преобразуем выражение (*):
$y_{1} = \cos \beta \sin \alpha + \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} } ( \sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha ) = \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} } \sin \beta \cos \alpha + \frac{m_{1} }{m_{1} + m_{2} } \cos \beta \sin \alpha = \sin ( \beta + \phi)$. (**)
где $\sin \phi = \frac{m_{1} }{m_{1} + m_{2} } \sin \alpha, \cos \phi = \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} } \cos \alpha$ и $tg \phi = \frac{m_{1} }{m_{2} } tg \alpha$.
Очевидно, что выражение (**) максимально при
$\beta + \phi = \frac{ \pi}{2}$, или $tg \beta = ctg \phi = \frac{m_{2} }{m_{1} } ctg \alpha$.
Следовательно, найденное положение равновесия устойчиво. Тот, кто умеет дифференцировать, мог бы найти это значение $\beta$ из условия экстремума (максимума) выражения (*).
Проволочная рамка, имеющая форму треугольника с углом $\alpha = 30^{ \circ}$, помещена в вертикальной плоскости так, как показано ни рисунке. По проволоке могут без трения скользить связанные друг с другом нитью два грузика с массами $m_{1} = 0,1 кг$ и $m_{2} = 0,3 кг$. Чему равно натяжение нити и угол $\beta$ в положении равновесия грузиков?
Является ли это равновесие устойчивым?
Решение:
На рисунке показаны все силы, действующие на грузики. Силы $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$ натяжении нити равны по абсолютной величине и противоположно направлены: $\vec{T}_{1} = - \vec{T}_{2}$ и $| \vec{T}_{1} | = | \vec{T}_{2} | = T$. Силы реакции $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$ перпендикулярны к сторонам рамки и, следовательно, образуют друг с другом угол $90^{ \circ}$. Силы тяжести $m_{1} \vec{g}$ и $m_{2} \vec{g}$, как всегда, направлены вертикально вниз.
Так как система из связанных нитью грузов находится в равновесии, то
$\vec{N}_{1} + \vec{N}_{2} + \vec{T}_{1} + \vec{T}_{2} + m_{1} \vec{g} + m_{2} \vec{G} = 0$,
или
$\vec{N}_{1} + \vec{N}_{2} + m_{1} \vec{g} + m_{2} \vec{g} = 0$.
Это означает, что векторы $\vec{N}_{1}, \vec{N}_{2}$ и $m_{1} \vec{g} + m_{2} \vec{g}$ образуют треугольник (рис.), причем этот треугольник прямоугольный: $\hat{BAC} = 90^{ \circ}$. В равновесии находится и каждый из грузиков. Следовательно,
$m_{1} \vec{g} + \vec{N}_{1} + \vec{T}_{1} = 0, \vec{N}_{2} + m_{2} \vec{g} + \vec{T}_{2} = 0$.
И этих равенств следует, что вектор $\vec{T}_{1}$ соединяет вершину А треугольника АВС с точкой E, а вектор $\vec{T}_{2}$ - точку E с точкой А.
В треугольнике AЕC $\hat{ACE} = \alpha$ и $\hat{CAE} = 90^{ \circ} - \beta$, а в треугольнике ABE $\hat{ABE} = 90^{ \circ} - \alpha$ и $\hat{BAE} = \beta$. Согласно теореме синусов
$\frac{T}{ \sin \alpha} = \frac{m_{1} | \vec{g} | }{ \sin ( 90^{ \circ} - \beta) } = \frac{m_{1} | \vec{g} | }{ \cos \beta }, \frac{m_{2} | \vec{g} | }{ \sin \beta} = \frac{T}{ \sin (90^{ \circ} - \alpha ) } = \frac{T}{ \cos \alpha}$.
Решая эти уравнения совместно, найдем
$tg \beta = \frac{m_{2} }{m_{1} } ctg \alpha = 3 \sqrt{3}, \beta \approx 79^{ \circ}$;
$T = m_{1} | \vec{g} | \frac{ \sin \alpha}{ \cos \beta} \approx 2,7 н$.
Теперь выясним, является ли найденное положение равновесия устойчивым. Положение равновесия устойчиво, если потенциальная энергия системы в этом положении минимальна, то есть центр тяжести системы грузов находится в наинизшем положении. Для того чтобы выяснить выполняется ли это условие, найдем координату центра тяжести системы.
Обозначим длину стороны DК проволочного треугольника (рис.) через $a$, а длину нити - через $l$. Центр тяжести системы (точка О) делит длину нити в отношении $\frac{m_{2} }{m_{1} }$. Следовательно, он находится на расстоянии $b = \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} } l$ от левого грузика. Из рисунка видно, что
$y_{0} = (a - l \cos \beta ) \sin \alpha - b \sin ( \beta - \alpha ) = a \sin \alpha - l \left ( \cos \beta \sin \alpha + \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} } \sin ( \beta - \alpha) \right )$.
Это выражение минимально, когда максимально выражение
$y_{1} = \cos \beta \sin \alpha + \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} } \sin ( \beta - \alpha)$. (*)
Преобразуем выражение (*):
$y_{1} = \cos \beta \sin \alpha + \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} } ( \sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha ) = \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} } \sin \beta \cos \alpha + \frac{m_{1} }{m_{1} + m_{2} } \cos \beta \sin \alpha = \sin ( \beta + \phi)$. (**)
где $\sin \phi = \frac{m_{1} }{m_{1} + m_{2} } \sin \alpha, \cos \phi = \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} } \cos \alpha$ и $tg \phi = \frac{m_{1} }{m_{2} } tg \alpha$.
Очевидно, что выражение (**) максимально при
$\beta + \phi = \frac{ \pi}{2}$, или $tg \beta = ctg \phi = \frac{m_{2} }{m_{1} } ctg \alpha$.
Следовательно, найденное положение равновесия устойчиво. Тот, кто умеет дифференцировать, мог бы найти это значение $\beta$ из условия экстремума (максимума) выражения (*).
