Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12084
2019-12-17 
В установке, показанной на рисунке, муфта М прикреплена к двум одинаковым пружинам, коэффициенты жесткости которых $k = 10 Н/м$. Муфта без трения может скользить по горизонтальному стержню АВ. Установка вращается с постоянной угловой скоростью $\omega = 4,4 рад/с$ вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найти период малых колебаний муфты. Масса муфты $m = 0,2 кг$.
При каком значении $\omega$ колебаний муфты не будет?
Решение:
При вращении установки муфта совершает колебания около положения равновесия, если при отклонении от этого положения равнодействующая всех сил, действующих на муфту,
сообщает ей ускорение $\vec{a}$ относительно стержня, направленное к оси вращения. Это возможно, если в неподвижной системе координат ускорение муфты $\vec{a}_{0}$ направлено к оси вращения стержня и превышает центростремительное ускорение $\vec{a}_{ц}$ той точки стержня, в которой в данный момент находится муфта:
$| \vec{a} | = | \vec{a}_{0} | - | \vec{a}_{ц} |$.
Пусть муфта находится на расстоянии $x$ от оси вращения стержня, тогда центростремительное ускорение точки стержня, в которой находится муфта, равно $\omega^{2}x$, и
$| \vec{a} | = | \vec{a}_{0} | - \omega^{2}x$.
На муфту со стороны пружин действуют силы упругости, равнодействующая которых направлена к оси вращения стержня и равна в проекции на ось $X - kx - kx = - 2kx$. Согласно второму закону Ньютона
$ma_{0} = - 2kx$,
или
$m(a + \omega^{2}x) = -2kx$.
Запишем это уравнение следующим образом:
$a = - \left ( \frac{2k}{m} - \omega^{2} \right )x$.
Мы получили, что ускорение муфты прямо пропорционально ее координате, взятой с противоположным знаком. Это означает, что муфта совершает гармонические колебания Период этих колебаний
$T = \frac{2 \pi}{ \sqrt{ \frac{2k}{m} - \omega^{2} } } \approx 0,7 с$.
Колебаний муфты не будет, если при смещении муфты из положения равновесия ее ускорение $\vec{a}$ относительно стержня окажется направленным от оси вращения, то есть
$\frac{2k}{m} - \omega^{2} <0$, или $\omega > \sqrt{ \frac{2k}{m}} = 10 рад/с$
В установке, показанной на рисунке, муфта М прикреплена к двум одинаковым пружинам, коэффициенты жесткости которых $k = 10 Н/м$. Муфта без трения может скользить по горизонтальному стержню АВ. Установка вращается с постоянной угловой скоростью $\omega = 4,4 рад/с$ вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найти период малых колебаний муфты. Масса муфты $m = 0,2 кг$.
При каком значении $\omega$ колебаний муфты не будет?
Решение:
При вращении установки муфта совершает колебания около положения равновесия, если при отклонении от этого положения равнодействующая всех сил, действующих на муфту,
сообщает ей ускорение $\vec{a}$ относительно стержня, направленное к оси вращения. Это возможно, если в неподвижной системе координат ускорение муфты $\vec{a}_{0}$ направлено к оси вращения стержня и превышает центростремительное ускорение $\vec{a}_{ц}$ той точки стержня, в которой в данный момент находится муфта:
$| \vec{a} | = | \vec{a}_{0} | - | \vec{a}_{ц} |$.
Пусть муфта находится на расстоянии $x$ от оси вращения стержня, тогда центростремительное ускорение точки стержня, в которой находится муфта, равно $\omega^{2}x$, и
$| \vec{a} | = | \vec{a}_{0} | - \omega^{2}x$.
На муфту со стороны пружин действуют силы упругости, равнодействующая которых направлена к оси вращения стержня и равна в проекции на ось $X - kx - kx = - 2kx$. Согласно второму закону Ньютона
$ma_{0} = - 2kx$,
или
$m(a + \omega^{2}x) = -2kx$.
Запишем это уравнение следующим образом:
$a = - \left ( \frac{2k}{m} - \omega^{2} \right )x$.
Мы получили, что ускорение муфты прямо пропорционально ее координате, взятой с противоположным знаком. Это означает, что муфта совершает гармонические колебания Период этих колебаний
$T = \frac{2 \pi}{ \sqrt{ \frac{2k}{m} - \omega^{2} } } \approx 0,7 с$.
Колебаний муфты не будет, если при смещении муфты из положения равновесия ее ускорение $\vec{a}$ относительно стержня окажется направленным от оси вращения, то есть
$\frac{2k}{m} - \omega^{2} <0$, или $\omega > \sqrt{ \frac{2k}{m}} = 10 рад/с$
