Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12082
2019-12-17 
В дифференциальном вороте, схематически изображенном на рисунке, используется цепь, каждый метр которой содержит $N$ звеньев. Шкивы верхнего блока снабжены зубцами, которые просеваются в звенья цепи, причем шкив большего диаметра имеет $n$ зубцов, а шкив меньшего диаметра $n - 1$. Трение в системе таково, что силы, необходимые для подъема или опускания груза, отличаются в $k$ раз. Предполагая, что трение от направления движения не зависит, найти эти силы.
Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Чтобы поднять или спустить груз, к участку abc цепи ворота надо приложить силу $\vec{F}_{1}$ или $\vec{F}_{2}$ соответственно. Эта сила совершает работу, равную сумме изменения потенциальной энергии груза и работы силы трения.
Рассмотрим сначала подъем груза. Под действием силы $\vec{F}_{1}$ верхний блок поворачивается против часовой стрелки. Предположим что он совершил один полный оборот При этом мы, очевидно, протянули $n$ звеньев цепи то есть точка приложения силы $\vec{F}_{1}$ совершила перемещение, равное по абсолютной величине длине участка цепи, содержащего $n$ звеньев: $l_{1} = \frac{n}{N}$ метров. Работа силы $\vec{F}_{1}$, следовательно, равна
$A_{1} = | \vec{F}_{1} | l_{1} = | \vec{F}_{1} | \frac{n}{N}$.
За время одного поворота верхнего блока правый участок цепи def, на которой висит груз, поднялся на $n$ звеньев (на число звеньев шкива большего диаметра), а левый участок опустился на $n-1$ звено (на число звеньев меньшего шкива). Таким образом, груз поднялся на $\frac{n - (n - 1) }{2}$ звеньев, то есть на высоту $h_{1} = \frac{1}{2N}$ метров, а его потенциальная энергия увеличилась на
$\Delta \Pi_{1} = m | \vec{g} | h_{1} = m | \vec{g} | \frac{1}{2N}$
($m$ - масса груза). Обозначим через $A_{тр}$ работу силы трения. Тогда согласно закону сохранения энергии
$| \vec{F}_{1} | \frac{n}{N} = m | \vec{g} | \frac{1}{2N} + A_{тр}$. (1)
Пусть теперь верхний блок под действием силы $\vec{F}_{2}$ сделает одни полный оборот по часовой стрелке. При этом сила $\vec{F}_{2}$ совершит работу
$A_{2} = | \vec{F}_{2} | l_{2} = | \vec{F}_{2} | \frac{n - 1}{N}$,
потенциальная энергия груза изменится на величину
$\Delta \Pi_{2} = - m | \vec{g} | h_{2} = - m | \vec{g} | \frac{1}{2N}$,
а работа силы трения останется такой же, как и в первом случае (поскольку абсолютная величина перемещения та же самая, а от направления движения трение не зависит) Поэтому можно записать
$| \vec{F}_{2} | \frac{n - 1}{N} = - m | \vec{g} | \frac{1}{2N} + A_{тр}$. (2)
Кроме того, по условию задачи
$| \vec{F}_{1} | = k | \vec{F}_{2}|$ (3)
Решая систему уравнений (1) - (3), найдем
$| \vec{F}_{1} | = m | \vec{g} | \frac{k}{(k - 1) + 1}$,
$| \vec{F}_{2} | = m | \vec{g} | \frac{1}{n(k - 1) +1}$.
В дифференциальном вороте, схематически изображенном на рисунке, используется цепь, каждый метр которой содержит $N$ звеньев. Шкивы верхнего блока снабжены зубцами, которые просеваются в звенья цепи, причем шкив большего диаметра имеет $n$ зубцов, а шкив меньшего диаметра $n - 1$. Трение в системе таково, что силы, необходимые для подъема или опускания груза, отличаются в $k$ раз. Предполагая, что трение от направления движения не зависит, найти эти силы.
Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Чтобы поднять или спустить груз, к участку abc цепи ворота надо приложить силу $\vec{F}_{1}$ или $\vec{F}_{2}$ соответственно. Эта сила совершает работу, равную сумме изменения потенциальной энергии груза и работы силы трения.
Рассмотрим сначала подъем груза. Под действием силы $\vec{F}_{1}$ верхний блок поворачивается против часовой стрелки. Предположим что он совершил один полный оборот При этом мы, очевидно, протянули $n$ звеньев цепи то есть точка приложения силы $\vec{F}_{1}$ совершила перемещение, равное по абсолютной величине длине участка цепи, содержащего $n$ звеньев: $l_{1} = \frac{n}{N}$ метров. Работа силы $\vec{F}_{1}$, следовательно, равна
$A_{1} = | \vec{F}_{1} | l_{1} = | \vec{F}_{1} | \frac{n}{N}$.
За время одного поворота верхнего блока правый участок цепи def, на которой висит груз, поднялся на $n$ звеньев (на число звеньев шкива большего диаметра), а левый участок опустился на $n-1$ звено (на число звеньев меньшего шкива). Таким образом, груз поднялся на $\frac{n - (n - 1) }{2}$ звеньев, то есть на высоту $h_{1} = \frac{1}{2N}$ метров, а его потенциальная энергия увеличилась на
$\Delta \Pi_{1} = m | \vec{g} | h_{1} = m | \vec{g} | \frac{1}{2N}$
($m$ - масса груза). Обозначим через $A_{тр}$ работу силы трения. Тогда согласно закону сохранения энергии
$| \vec{F}_{1} | \frac{n}{N} = m | \vec{g} | \frac{1}{2N} + A_{тр}$. (1)
Пусть теперь верхний блок под действием силы $\vec{F}_{2}$ сделает одни полный оборот по часовой стрелке. При этом сила $\vec{F}_{2}$ совершит работу
$A_{2} = | \vec{F}_{2} | l_{2} = | \vec{F}_{2} | \frac{n - 1}{N}$,
потенциальная энергия груза изменится на величину
$\Delta \Pi_{2} = - m | \vec{g} | h_{2} = - m | \vec{g} | \frac{1}{2N}$,
а работа силы трения останется такой же, как и в первом случае (поскольку абсолютная величина перемещения та же самая, а от направления движения трение не зависит) Поэтому можно записать
$| \vec{F}_{2} | \frac{n - 1}{N} = - m | \vec{g} | \frac{1}{2N} + A_{тр}$. (2)
Кроме того, по условию задачи
$| \vec{F}_{1} | = k | \vec{F}_{2}|$ (3)
Решая систему уравнений (1) - (3), найдем
$| \vec{F}_{1} | = m | \vec{g} | \frac{k}{(k - 1) + 1}$,
$| \vec{F}_{2} | = m | \vec{g} | \frac{1}{n(k - 1) +1}$.
