Разделы 
Дополнительно
Задача по физке - 12080
2019-12-17 
Стенки цилиндра, поршень и внутренняя перегородка площадью $1 дм^{3}$ изготовлены из теплоизоляционного материала (рис.). Клапан в перегородке открывается в том случае, если давление справа больше давления слева. В начальном состоянии в левой части цилиндра длиной $l = 11,2 дм$ находится $m_{1} = 12 г$ гелия, в правой части, имеющей ту же длину, - $m_{2} = 2 г$ гелия, с обеих сторон температура равна $t_{0} = 0^{ \circ} С$ ($T_{0} = 273^{ \circ} К$). Внешнее давление $p_{0} = 10^{5} н/м^{2}$. Удельная теплоемкость гелия при постоянном объеме $c_{V} = 3,15 \cdot 10^{3} дж/(кг \cdot град)$, а при постоянном давлении $c_{p} = 5,25 \cdot 10^{3} дж/ (кг \cdot град)$. Поршень медленно передвигается по направлению к перегородке (с небольшой остановкой в момент открытия клапана) и осторожно доводится до перегородки. Чему равна произведенная при этом работа? Площадь поршня $S = 10^{-2} м^{2}$.
Решение:
Поскольку система теплоизолирована, полная работа $A$, совершенная над газом силой, действующей на поршень, и силой атмосферного давления, равна изменению внутренней энергии газа $\Delta U$:
$A = \Delta U$.
Обозначим через $T$ окончательную температуру газа. Тогда
$\Delta U = c_{V} (m_{1} + m_{2})(T - T_{0})$
Чтобы найти работу $A_{1}$ силы, приложенной к поршню, надо из полной работы $A$ вычесть работу силы атмосферного давления $A_{2} = p_{0}Sl$. В результате получим
$A_{1} = c_{V}(m_{1} + m_{2})(T - T_{0}) - p_{0}Sl$. (*)
Из всех входящих в это выражение величин нам не известна лишь температура $T$ по окончании процесса. Найдем ее для этого нам придется последовательно рассмотреть все этапы процесса.
Ясно, что в самом начале давление в левой части цилиндра больше, чем в правой:
$p_{1} = \frac{m_{1} }{ \mu} \frac{RT_{0} }{lS} > p_{2} = \frac{m_{2} }{ \mu} \frac{RT_{0} }{lS}$.
Поэтому при движении поршня к перегородке газ в правой части цилиндра будет сжиматься до тех пор, пока его давление не станет равным $p_{1}$ и не откроется клапан в перегородке. Так как сжатие газа происходит адиабатно, его объем $V_{1}$ после сжатия станет таким, что
$p_{1}V_{1}^{ \gamma } = p_{2}V_{0}^{ \gamma}$.
где $\gamma = \frac{c_{p} }{c_{V} }$ - показатель адиабаты, а $V_{0} = lS$. Отсюда
$V_{1} = V_{0} \left ( \frac{p_{2} }{p_{1} } \right )^{ \frac{1}{ \gamma} } = V_{0} \left ( \frac{m_{2} }{m_{1} } \right )^{ \frac{1}{ \gamma} }$
Температуру $T_{1}$, которую будет иметь при этом газ в правой части цилиндра, найдем из уравнения газового состояния:
$T_{1} = \frac{p_{1}V_{1} \mu }{Rm_{2} } = \frac{p_{1}V_{1} }{p_{2}V_{0} } T_{0} = T_{0} \left ( \frac{m_{2} }{m_{1} } \right )^{ \frac{1}{ \gamma} - 1 }$.
Теперь, когда давление справа стало таким же. как и слева, открывается клапан к перегородке, и газы перемешиваются (поршень в это время не перемещается). Температуру "смеси" $T_{2}$ можно определить из уравнения теплового баланса:
$c_{V}m_{1}(T_{2} - T_{0}) = c_{V}m_{2} (T_{1} - T_{2})$.
и
$T_{2} = \frac{m_{1}T_{0} + m_{2}T_{1} }{m_{1} + m_{2} } = T_{0} \frac{m_{1} }{m_{1} + m_{2} } \left [ 1 + \left ( \frac{m_{2} }{m_{1} } \right )^{ \frac{1}{ \gamma} } \right ]$.
После перемешивания весь газ массы $m = m_{1} + m_{2}$ сжимается адиабатно от объема $V = V_{1} + V_{0}$ до объема $V_{0}$, а его температура изменяется от $T_{2}$ до $T$. При этом
$TV_{0}^{ \gamma - 1} = T_{2}V^{ \gamma - 1}$.
откуда
$T = T_{2} \left ( \frac{V_{1} + V_{0} }{V_{0} } \right )^{ \gamma - 1} = T_{0} \frac{m_{1} }{m_{1} + m_{2} } \left [ 1 + \left ( \frac{m_{2} }{m_{1} } \right )^{ \frac{1}{ \gamma} } \right ]^{ \gamma}$.
Подставив это выражение для $T$ в формулу (*), получим окончательно
$A_{1} = c_{V}(m_{1} + m_{2})T_{0} \left [ \frac{m_{1} }{m_{1} + m_{2} } \left [ 1 + \left ( \frac{m_{2} }{m_{1} } \right )^{ \frac{1}{ \gamma} } \right ]^{ \gamma} - 1 \right ] - p_{0}Sl \approx 3674 дж$.
Стенки цилиндра, поршень и внутренняя перегородка площадью $1 дм^{3}$ изготовлены из теплоизоляционного материала (рис.). Клапан в перегородке открывается в том случае, если давление справа больше давления слева. В начальном состоянии в левой части цилиндра длиной $l = 11,2 дм$ находится $m_{1} = 12 г$ гелия, в правой части, имеющей ту же длину, - $m_{2} = 2 г$ гелия, с обеих сторон температура равна $t_{0} = 0^{ \circ} С$ ($T_{0} = 273^{ \circ} К$). Внешнее давление $p_{0} = 10^{5} н/м^{2}$. Удельная теплоемкость гелия при постоянном объеме $c_{V} = 3,15 \cdot 10^{3} дж/(кг \cdot град)$, а при постоянном давлении $c_{p} = 5,25 \cdot 10^{3} дж/ (кг \cdot град)$. Поршень медленно передвигается по направлению к перегородке (с небольшой остановкой в момент открытия клапана) и осторожно доводится до перегородки. Чему равна произведенная при этом работа? Площадь поршня $S = 10^{-2} м^{2}$.
Решение:
Поскольку система теплоизолирована, полная работа $A$, совершенная над газом силой, действующей на поршень, и силой атмосферного давления, равна изменению внутренней энергии газа $\Delta U$:
$A = \Delta U$.
Обозначим через $T$ окончательную температуру газа. Тогда
$\Delta U = c_{V} (m_{1} + m_{2})(T - T_{0})$
Чтобы найти работу $A_{1}$ силы, приложенной к поршню, надо из полной работы $A$ вычесть работу силы атмосферного давления $A_{2} = p_{0}Sl$. В результате получим
$A_{1} = c_{V}(m_{1} + m_{2})(T - T_{0}) - p_{0}Sl$. (*)
Из всех входящих в это выражение величин нам не известна лишь температура $T$ по окончании процесса. Найдем ее для этого нам придется последовательно рассмотреть все этапы процесса.
Ясно, что в самом начале давление в левой части цилиндра больше, чем в правой:
$p_{1} = \frac{m_{1} }{ \mu} \frac{RT_{0} }{lS} > p_{2} = \frac{m_{2} }{ \mu} \frac{RT_{0} }{lS}$.
Поэтому при движении поршня к перегородке газ в правой части цилиндра будет сжиматься до тех пор, пока его давление не станет равным $p_{1}$ и не откроется клапан в перегородке. Так как сжатие газа происходит адиабатно, его объем $V_{1}$ после сжатия станет таким, что
$p_{1}V_{1}^{ \gamma } = p_{2}V_{0}^{ \gamma}$.
где $\gamma = \frac{c_{p} }{c_{V} }$ - показатель адиабаты, а $V_{0} = lS$. Отсюда
$V_{1} = V_{0} \left ( \frac{p_{2} }{p_{1} } \right )^{ \frac{1}{ \gamma} } = V_{0} \left ( \frac{m_{2} }{m_{1} } \right )^{ \frac{1}{ \gamma} }$
Температуру $T_{1}$, которую будет иметь при этом газ в правой части цилиндра, найдем из уравнения газового состояния:
$T_{1} = \frac{p_{1}V_{1} \mu }{Rm_{2} } = \frac{p_{1}V_{1} }{p_{2}V_{0} } T_{0} = T_{0} \left ( \frac{m_{2} }{m_{1} } \right )^{ \frac{1}{ \gamma} - 1 }$.
Теперь, когда давление справа стало таким же. как и слева, открывается клапан к перегородке, и газы перемешиваются (поршень в это время не перемещается). Температуру "смеси" $T_{2}$ можно определить из уравнения теплового баланса:
$c_{V}m_{1}(T_{2} - T_{0}) = c_{V}m_{2} (T_{1} - T_{2})$.
и
$T_{2} = \frac{m_{1}T_{0} + m_{2}T_{1} }{m_{1} + m_{2} } = T_{0} \frac{m_{1} }{m_{1} + m_{2} } \left [ 1 + \left ( \frac{m_{2} }{m_{1} } \right )^{ \frac{1}{ \gamma} } \right ]$.
После перемешивания весь газ массы $m = m_{1} + m_{2}$ сжимается адиабатно от объема $V = V_{1} + V_{0}$ до объема $V_{0}$, а его температура изменяется от $T_{2}$ до $T$. При этом
$TV_{0}^{ \gamma - 1} = T_{2}V^{ \gamma - 1}$.
откуда
$T = T_{2} \left ( \frac{V_{1} + V_{0} }{V_{0} } \right )^{ \gamma - 1} = T_{0} \frac{m_{1} }{m_{1} + m_{2} } \left [ 1 + \left ( \frac{m_{2} }{m_{1} } \right )^{ \frac{1}{ \gamma} } \right ]^{ \gamma}$.
Подставив это выражение для $T$ в формулу (*), получим окончательно
$A_{1} = c_{V}(m_{1} + m_{2})T_{0} \left [ \frac{m_{1} }{m_{1} + m_{2} } \left [ 1 + \left ( \frac{m_{2} }{m_{1} } \right )^{ \frac{1}{ \gamma} } \right ]^{ \gamma} - 1 \right ] - p_{0}Sl \approx 3674 дж$.
